Контрольная работа: Кривые на плоскости

Как и в случае прямоугольной системы можно заменить a ² = 2c ² :

Плотность точек кривой при равномерном изменении параметра

· Параметрическое уравнение в прямоугольной системе:

, где

Это единственный вариант рациональной параметризации кривой. Уравнение полностью описывает кривую, когда параметр пробегает всю вещественную прямую: от до . При этом, когда параметр стремится к , точка кривой стремится к (0;0) из второй координатной четверти, а когда параметр стремится к , то — из четвёртой. Распределение точек, которые даёт параметрическое уравнение, при изменении его параметра с фиксированным шагом показано на рисунке.

Свойства

Лемниската Бернулли является частным случаем овала Кассини при a = c , синусоидальной спирали с индексом n = 2 и лемнискаты Бута при c = 0, поэтому она наследует некоторые свойства этих кривых.

Свойства от овала Кассини

· Лемниската — кривая четвёртого порядка.

· Она симметрична относительно двойной точки — середины отрезка между фокусами.

· Кривая имеет 2 максимума и 2 минимума. Их координаты:

· Расстояние от максимума до минимума, находящихся по одну сторону от серединного перпендикуляра отрезка между фокусами равно расстоянию от максимума (или от минимума) до двойной точки.

· Лемнискату описывает окружность радиуса , поэтому иногда в уравнениях производят эту замену.

Свойства от синусоидальной спирали

· Точка, где лемниската пересекает саму себя, называется узловой или двойной точкой.

· Касательные в двойной точке составляют с отрезком F ₁ F ₂ углы .

· Угол μ, составляемый касательной в произвольной точке кривой с радиус-вектором точки касания равен .

· Касательные в точках пересечения кривой и хорды, проходящей через двойную точку, параллельны друг другу.

· Инверсия относительно окружности с центром в двойной точке, переводит лемнискату Бернулли в равнобочную гиперболу.

· Радиус кривизны лемнискаты есть

Есть частный случай формулы радиуса кривизны синусоидальной спирали:

при m = 2,

однако, легко вывести и по определению.

Уравнение лемнискаты в полярной системе:

Формулы перехода к полярной системе координат:

Выражаем :

Подставляем в уравнение лемнискаты и выражаем x и y :