Контрольная работа: Кривые на плоскости
Астроида — плоская кривая, описываемая точкой M окружности радиуса r , катящейся по внутренней стороне окружности радиуса R = 4r . Иначе говоря, астроида — это гипоциклоида с модулем m = 4.
Так же можно сказать, что Астроида- это плоская кривая, описываемая точкой окружности, которая касается изнутри неподвижной окружности вчетверо большего радиуса и катится по ней без скольжения. Принадлежит к гипоциклоидам. Является алгебраической кривой шестого порядка.
Свойства
1. Имеются четыре каспа.
2. Длина дуги от точки с 0 до 
3. 
4. Длина всей кривой 6R .
5. Радиус кривизны:
6. 
7. Площадь, ограниченная кривой:
8.
9. Астроида является огибающей семейства отрезков постоянной длины, концы которых расположены на двух взаимно перпендикулярных прямых.
10. Астроида является алгебраической кривой 6-го порядка.
Уравнения
· Уравнение в декартовой прямоугольной системе координат:
· параметрическое уравнение:
Лемниската Бернулли
Лемниската Бернулли — плоская кривая, геометрическое место точек, произведение расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) постоянно и равно квадрату половины расстояния между фокусами.
Так же можно сказать, что Лемниската Бернулли- это плоская кривая, имеющая вид «восьмерки»; множество точек М, произведение расстояний r1 и r2 которых до двух данных точек F1 и F2 (фокусов) равно квадрату междуфокусного расстояния. Алгебраическая кривая 4-го порядка, рассмотренная Я. Бернулли (1964 г).
Уравнения
Рассмотрим простейший случай: если расстояние между фокусами 2c , расположены они на оси OX , и начало координат делит отрезок между ними пополам, то следующие уравнения задают лемнискату:
· в прямоугольной декартовой системе координат:
Фокусы лемнискаты — F 1 ( − c ;0) и F 2 (c ;0). Возьмём произвольную точку M (x ;y ). Произведение расстояний от фокусов до точки M есть
,
и по определению оно равно c 2 :
Возводим в квадрат обе части равенства:
Раскрываем скобки в левой части: