Контрольная работа: Кривые на плоскости

Раскрываем скобки и свёртываем новый квадрат суммы:

Выносим общий множитель и переносим:

Далее можно сделать замену a ² = 2c ² , хотя это не обязательно:

В данном случае a — радиус окружности, описывающей лемнискату.

Проведя несложные преобразования, можно получить явное уравнение:

Возводим в квадрат и раскрываем скобки:

Приводим к виду

Это квадратное уравнение относительно y ² . Решив его, получим

Взяв корень и отбросив вариант с отрицательным вторым слагаемым, получим:

где положительный вариант определяет верхнюю половину лемнискаты, отрицательный — нижнюю.

·в полярной системе координат:

Используя формулы перехода к полярной системе координат получим:

Выносим общие множители и используем тригонометрическое тождествоsin² α + cos² α = 1:

Используем ещё одно тождество: cos² α − sin² α = cos 2α:

Делим на ρ² , предполагая, что :