Контрольная работа: Лінейна балансова модель і її використання в економічних розрахунках

х1 – 0.2х1 – 0.4х2 = у1

х2 – 0.55х1 – 0.1х2 = у2

Ця система двох рівнянь може бути використана для визначення х1 і х2 при заданих значеннях у1 і у2 , для використання впливу на валовий випуск будь-яких змін в асортименті кінцевого продукту і так далі

Так, наприклад, задавшись у1=240 і у2=85, отримаємо х1=500 і х2=400, задавшись у1=480 і у2=170, отримаємо х1=1000 і х2=800 і так далі

Вирішення балансових рівнянь за допомогою зворотної матриці. Коефіцієнти повних витрат

Повернемося знову до розгляду балансового рівняння (6).

Перше питання, яке виникає при його дослідження, це питання об існування при заданому векторі У>0 ненегативного вирішення х>0, тобто про існування вектор-плану, що забезпечує даний асортимент кінцевого продукту У. Будем називати таке вирішення рівняння (6') допустимим рішенням.

Відмітимо, що при будь-якій ненегативній матриці А затверджувати існування ненегативного рішення не можна.

Так, наприклад, якщо

0.9 0.8 0.1 -0.8 і рівняння (6')'

А=, то Е – А =

0.6 0.9 -0.6 0.1

запишеться у вигляді 0.1 -0.8 х1 у1 або в розгорненій формі

-0.6 0.1 х2 у2

0.1х1 – 0.8х2 = у1 (a)a

-0.6х1 + 0.1х2 = у2

Склавши ці два рівняння почленно, отримаємо рівняння

-0.5х1 – 0.7х2 = у1 + у2

яке не може задовольнятися ненегативним значенням х1 і х2 , якщо тільки у1>0 і у2>0 (окрім х1=х2=0 при у1=у2=0).

Нарешті рівняння взагалі може не мати рішень (система (6) – несумісна) або мати незліченну безліч рішень (система (6) – невизначена).

Наступна теорема, доказ якої ми опускаємо, дає відповідь на поставлене питання.

Теорема. Якщо існує хоч один ненегативний вектор х>0 , що задовольняє нерівності (Е – А)·х>0, тобто якщо рівняння (6') має ненегативне вирішення x>0 , хоч би для одного У>0, то воно має для будь-якого У>0 єдине ненегативне рішення.

При цьому виявляється, що зворотна матриця (Е – А) буде обов'язково ненегативною.

Із способу утворення матриці витрат виходить, що для попереднього періоду виконується рівність (Е – А)·х' = У', де вектор-план х ' і асортиментний вектор У ' визначаються по виконаному балансу за минулий період, при цьому У>0 ' . Таким чином, рівняння (6') має одне ненегативне вирішення x >0 . На підставі теореми укладаємо, що рівняння (6') завжди має допустимий план і матриця (Е – А) має зворотну матрицю.

Позначивши зворотну матрицю (Е – А)^-1 через S = || sik+ || , запишемо вирішення рівняння (6'') у вигляді

_ _

х = SУ (·7)

Якщо буде заданий вектор – кінцевий продукт У і обчислена матриця S = (E – A)^-1 , то по цій формулі може бути визначений вектор-план х .

Рішення (7) можна представити в розгорненій формі: