Контрольная работа: Математические модели в экономике

где S – площадь основания, H – высота пирамиды.

В рассматриваемом случае высота Н равна 24.

Площадь основания равна Ѕ АВ умножить на ВС и на синус угла между ними.

Задание 2

Даны зависимости спроса D и предложения S от цены. Найдите равновесную цену, при которой выручка максимальна и эту максимальную выручку.

Вариант	Данные
1	D = 1000 – 10p; S = 100 +10p

Решение:

Точка равновесия характеризуется равенством спрос и предложения, т.е. 1000 – 10p = 100+10p. Равновесная цена p^* = 45 и выручка при равновесной цене W(p^* ) = p^* * D(p^* ) = p^* * S(p^* ) = 24750.

При цене p > p^* объем продаж и выручка определяется функцией спроса, при p < p^* - предложения. Необходимо найти цену , определяющую максимум выручки:

p*(1000 – 10p) – функция имеет максимум в точке 50, W(50)=25000

p*(100 - 10p) –функция максимальна в точке 5, W(5)=250

Таким образом, максимальная выручка W(р) =25000 достигается не при равновесной цене.

Задание 3

Найдите решение матричной игры (оптимальные стратегии и цену игры).

Вариант	Игра
1

Сначала необходимо проверить наличие седловой точки. Седловой точки нет.

Обозначим стратегию Первого , искомую оптимальную стратегию Второго .

Выигрыш Первого есть случайная величина с таким рядом распределения:

W(x,y):	2	-3	-2	2
	xy	x(1-y)	(1-x)y	(1-x) (1-y)

Находим средний выигрыш за партию Первого – математическое ожидание случайной величины W(x,y):

M(x,y)=2xy-3x(1-y)-2(1-x)y+2(1-x)(1-y)=2xy-3x+3xy-2y+2xy+2-2x-2y+2xy=9xy-5x-4y+2=9x(y-5/9)-4(y-5/9)+6/9=9(y-5/9)(x-4/9)+6/9

Для нахождения оптимальных стратегий игроков необходимо, чтобы M(x,y^* )≤ M(x^* ,y^* )≤ M(x^* ,y). Это выполняется при x^* =4/9 и y^* =5/9, так как именно в этом случае M(x , 5/9) = M(4/9 , 5/9) = M(4/9 , y) = 6/9.

Следовательно, оптимальная стратегия первого игрока есть

,

Второго - . Цена игры по определению равна v=M(P^* ,Q^* )=6/9

Задание 4

Для трехотраслевой экономической системы заданы матрица коэффициентов прямых материальных затрат и вектор конечной продукции. Найти коэффициенты полных материальных затрат двумя способами (с помощью формул обращения невырожденных матриц и приближенно), заполнить схему межотраслевого баланса.

Вариант	Данные
1