Контрольная работа: Метод Лобачевського-Греффе

Звідси знаходимо шукані корені

(6)

Щоб досягти відділення коренів, виходячи з рівняння (1), складають перетворене рівняння

, (7)

коренями якого y1, y2, …, yn є m-ті ступені коренів x1, x2, …, xn рівняння (1), тобто

yk=xkm (k=1, 2, …, n). (8)

Якщо корені рівняння (1), які ми вважаємо розташованими у порядку спадання модулів, є різними за модулем, то корені рівняння (7) при досить великій степені m будуть відділеними, тому що

при .

Наприклад, нехай

x1=2; x2=1,5; x3=1.

При m=100 матимемо:

y1=1,27*1030; y2=4,06*1017; y1=1 і, відповідно, .

Зазвичай в якості показника m беруть ступінь числа 2, тобто вважають m=p2, де p – натуральне число, а саме перетворення роблять у p прийомів, кожен раз складаючи рівняння, коренями якого є квадрати коренів попереднього рівняння.

Наближено обчисливши корені yk(k=1, 2, …, n), з формул (8) можна визначити і корені вихідного рівняння (1). Точність обчислень залежить від того, наскільки малим є відношення модулів сусідніх коренів перетвореного рівняння.

Ідея цього методу обчислення коренів належить Лобачевскому, практично зручна схема обчислень була запропонована Греффе.

Достоїнством метода Лобачевського-Греффе є те, що при використанні цього методу немає необхідності ізолювати корені. Треба лише позбавитися від кратних коренів. Саме обчислення коренів ведеться регулярним способом. Метод придатний також для знаходження комплексних коренів. Незручність методу полягає в необхідності оперування з досить великими числами. Крім того, відсутній достатньо надійний контроль обчислень й ускладнена оцінка точності отриманого результату.

Зауважимо, що якщо корені рівняння (1) різні, але модулі деяких з них близькі між собою, то збіжність метода Лобачевського-Греффе досить повільна. В цьому випадку такі корені варто розглядати як рівні за модулем і використовувати спеціальні прийоми обчислення.

1.4 Процес квадратування коренів

Покажемо тепер, як можна просто скласти рівняння, коренями якого є квадрати коренів даного алгебраїчного рівняння, взяті зі знаком мінус. Остання обставина викликається міркуваннями зручності, щоб за можливістю уникнути появи від’ємних коефіцієнтів. Процес переходу від коренів xk (k=1, 2, …, n) до коренів

yk=-xk2 (1)

для короткості зватимемо квадратуванням коренів.

Нехай

P(x)=a0xn+a1xn-1+…+an=0

- дане рівняння, де a0≠0.

Позначуючи через x1, x2, …, xn корені цього рівняння, матимемо:

P(x)=a0(x-x1)(x-x2)…(x-xn).

Звідси

P(-x)=(-1)na0(x+x1)(x+x2)…(x-xn).

Відповідно,