Контрольная работа: Метод Лобачевського-Греффе

Вважаючи

y=-x2

в наслідок формули (2) отримаємо поліном

Q(y)=P(x)P(-x),

Коренями якого є числа

yk=-xk2 (k=1, 2, …, n).

Так як

P(-x)=(-1)n(a0xn-a1xn-1+a2xn-1-…+(-1)nan),

то, роблячи перемноження поліномів P(x) і P(-x), матимемо:

P(x)P(-x)=(-1)n(a02x2n-(a12-2a0a2)x2n-2+(a22-2a1a3+2a0a4)x2n-4-...+(-1)nan2).

Відповідно, рівнянням, що цікавить нас є

Q(x)=A0yn+A1yn-1+A2yn-2+…+An=0

де

A0=a02,

A1=a12-2a0a2,

A2=a22-2a1a3+2a0a4,

…

An=an2.

Правило: При квадрату ванні коренів кожен коефіцієнт перетвореного рівняння дорівнює квадрату попереднього коефіцієнта, мінус подвоєний добуток сусідніх із ним коефіцієнтів, плюс подвоєний добуток слідуючих в порядку близькості коефіцієнтів і т. д., причому якщо потрібний коефіцієнт відсутній, то він вважається рівним нулю.

1.5 Використання методу для випадку дійсних різних корені

Нехай корені x1, x2, …, xn рівняння n-ного ступеню з дійсними коефіцієнтами

(1)

дійсні і різні за модулем. Розташуймо їх в порядку спадання модулів:

.

Покроково використовуючи метод квадратування коренів, складемо рівняння

, (2)

коренями якого слугують числа

(k=1, 2, …, n). (3)

Якщо p досить велике, то корені y1, y2, …, yn є відділеними та на підставі частини 1.2. могуть бути визначені з ланцюжку лінійних рівнянь