Контрольная работа: Методи перетворення біосигналів та аналіз медико-біологічної інформації

Перетворення Фур'є є лінійним інтегральним перетворенням, тобто спектр суми дорівнює сумі спектрів або, математичною мовою, лінійна комбінація сигналів має спектр у вигляді такої самої (з тими ж коефіцієнтами) лінійної комбінації їх спектральних функцій.

При затримці сигналу в часі амплітудний спектр цього сигналу не змінюється, фазовий спектр здобуває додатковий доданок, що лінійно залежить від частоти.

Зміна тривалості сигналу приводить до зміни ширини спектра зворотним чином в поєднанні зі збільшенням (при розтяганні, a<1) або зменшенням (при стиску, a>1) рівня спектральних складових.

Спектр похідної отримують шляхом множення спектра вихідного сигналу на jw. Отже, при диференціюванні низькі частоти послаблюються, а високі підсилюються. Фазовий спектр зсувається на 90° для позитивних частот і на – 90° для негативних. Множник jw називають оператором диференціювання сигналу в частотній зоні.

При інтегруванні вихідного сигналу його спектр множиться на 1/(jw). Високі частоти послаблюються, а низькі підсилюються. Фазовий спектр сигналу зсувається на ‑90° для позитивних частот і на 90° для негативних. Множник 1/(jw) називають оператором інтегрування в частотній зоні.

Спектр згортки сигналів дорівнює добутку спектрів.

Спектр добутку дорівнює згортці спектрів. Єдиною додатковою особливістю є множник 1/(2p) перед інтегралом згортки.

При множенні сигналу на гармонічну функцію спектр «роздвоюється» – розпадається на дві складові вдвічі меншого рівня, зсунутих на w₀ праворуч (w-w₀ ) та ліворуч (w+w₀ ) за віссю частот. При кожному доданку є множник, що враховує початкову фазу гармонічного коливання.

Спектр дельта-функції є константа, тобто є рівномірним у нескінченній смузі частот.

Спектром константи є дельта-функція частоти.

Крок квантування:

,

де U_max – максимальне значення аналогового сигналу на вході АЦП, що не викликає переповнення арифметичного пристрою,

m – кількість двійкових розрядів.

Теорема Котельникова: будь-який сигнал s(t), спектр якого не містить складових із частотами вище w_В =2pf_В , може бути без втрат інформації поданий своїми дискретними відліками {s(k)}, узятими з інтервалом Т, що задовольняє наступній нерівності:

( або ).

Частота Найквіста –

.

Спектр дискретного сигналу є нескінченним рядом зсунутих на величину частоти дискретизації w_д копій спектра вихідного безперервного сигналу s(t), тобто спектр дискретного сигналу періодичний з періодом, що дорівнює частоті дискретизації.

сигнал аналоговий перетворення фур'є

Дискретне перетворення Фур'є (ДПФ):

,

де x(k) – відліки дискретного сигналу;

N – кількість відліків дискретного сигналу;

n – номер коефіцієнта ДПФ.

Перехід від дискретного спектра до часових відліків сигналу здійснюється за допомогою зворотного дискретного перетворення Фур'є (ЗДПФ):

.

ДПФ є лінійним перетворенням, тобто якщо послідовностям {x(k)} і {y(k)} з періодом N відповідають набори гармонік і , то послідовності {ax(k)+by(k)} відповідатиме спектр .

Кількість різних коефіцієнтів ДПФ , , , …, дорівнює кількості відліків N за період; при n = N коефіцієнт .