Контрольная работа: Методи перетворення біосигналів та аналіз медико-біологічної інформації

Автокореляціна функція (АКФ) дозволяє судити про ступінь зв'язку (кореляції) сигналу s(t) з його зсунутою за часом копією:

,

де t – величина часового зсуву сигналу.

Взаємна кореляційна функція (ВКФ) дозволяє оцінити ступінь подібності двох сигналів s₁ (t) і s₂ (t):

.

ВКФ зв'язана перетворенням Фур'є із взаємним спектром сигналів. Взаємний спектр для сигналів – це s₁ (t) і s₂ (t) є добутком їх спектральних функцій, одна з яких піддана комплексному спряженню: . Якщо спектри сигналів не перекриваються, то їх взаємний спектр дорівнює нулю на всіх частотах, отже, дорівнює нулю і їх ВКФ при будь-яких часових зсувах t. Отже, сигнали зі спектрами, що не перекриваються, є некорельованими.

АКФ сигналу зв'язана перетворенням Фур'є із квадратом модуля спектральної функції, або з енергетичним спектром сигналу.

Коваріаційна функція – це статистично усереднений добуток значень випадкової функції X(t) у моменти часу t₁ і t₂ :

.

Кореляційна функція є статистично усередненим добутком значень центрованої випадкової функції X(t)-m_x (t) у моменти часу t₁ і t₂ :

.

Мірою лінійного статистичного зв'язку між випадковими величинами є коефіцієнт кореляції:

,

, граничні значення ±1 досягаються, якщо реалізації випадкових величин жорстко зв'язані лінійним співвідношенням x₂ =ax₁ +b, де a і b – деякі константи. Знак коефіцієнта кореляції збігається зі знаком множника a. Рівність коефіцієнта кореляції нулю свідчить про відсутність лінійного статистичного зв'язку між випадковими величинами (тобто вони некорельовані).

Для стаціонарного випадкового процесу кореляційна функція залежить не від самих моментів часу, а тільки від інтервалу між ними t=t₂ -t₁ :

.

Абсолютні значення кореляційної функції при будь-яких t не перевищують її значення при t=0 (це значення дорівнює дисперсії випадкового процесу):

.

Використовують коефіцієнт кореляції (його також називають нормованою кореляційною функцією):

;

r_x (0) =1, |r_x (t)|£1 і r_x (-t)=r_x (t).

Функції R_x (t) і r_x (t) характеризують зв'язок (кореляцію) між значеннями X(t), розділеними проміжком t. Чим повільніше убувають ці функції з ростом абсолютного значення t, тим більше проміжок, протягом якого спостерігається статистичний зв'язок між миттєвими значеннями випадкового процесу, і тим повільніше, плавніше змінюються в часі його реалізації. Усереднена спектральна щільність випадкового процесу є спектром його детермінованої складової (математичного очікування). Для центрованих випадкових процесів:

та .

Усереднене значення спектральної щільності не несе ніякої інформації про флуктуаційну, тобто випадкову, складову випадкового процесу.

Обчислення спектра випадкового процесу виконується на основі його кореляційної функції за допомогою теореми Вінера-Хінчина – кореляційна функція випадкового процесу і його спектральна щільність потужності зв'язані перетворенням Фур'є:

,

де

– спектральна щільність середньої потужності реалізації («спектральна щільність потужності» або «спектр потужності»);

– спектральна щільність реалізації на інтервалі часу Т, обчислена за допомогою прямого перетворення Фур'є.