Контрольная работа: Основы математического анализа
g) формула бинома Ньютона:
где n Î N.
Решение. a) При n = 1 равенство примет вид 
1=1, следовательно, P(1) истинно. Предположим, что данное равенство справедливо, то есть, имеет место
.
Следует проверить (доказать), что P(n + 1), то есть
истинно. Поскольку (используется предположение индукции)
получим
то есть, P(n + 1) - истинное утверждение.
Таким образом, согласно методу математической индукции, исходное равенство справедливо для любого натурального n.
Замечание 2. Этот пример можно было решить и иначе. Действительно, сумма 1 + 2 + 3 + ... + n есть сумма первых n членов арифметической прогрессии с первым членом a1 = 1 и разностью d = 1. В силу известной формулы 
, получим
b) При n = 1 равенство примет вид: 2·1 - 1 = 12 или 1=1, то есть, P(1) истинно. Допустим, что имеет место равенство
1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n2
и докажем, что имеет место P(n + 1):
1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) + (2(n + 1) - 1) = (n + 1)2
или
1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) + (2n + 1) = (n + 1)2 .
Используя предположение индукции, получим
1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) + (2n + 1) = n2 + (2n + 1) = (n + 1)2 .
Таким образом, P(n + 1) истинно и, следовательно, требуемое равенство доказано.
Замечание 3. Этот пример можно решить (аналогично предыдущему) без использования метода математической индукции.
c) При n = 1 равенство истинно: 
1=1. Допустим, что истинно равенство
и покажем, что
