Контрольная работа: Основы математического анализа

Последнее неравенство переписывается следующим образом:

x₁ + x₂ + ... + x_{n -1} + x_n x_{n +1} + x_n + x_{n +1} ≥ n + x_n + x_{n +1}

или

x₁ + x₂ + ... + x_{n -1} + x_n + x_{n +1} ≥ n + x_n + x_{n +1} - x_n x_{n +1} .

Поскольку

(1 - x_n )(x_{n +1} - 1) > 0,

n + x_n + x_{n +1} - x_n x_{n +1} = n + 1 + x_{n +1} (1 - x_n ) - 1 + x_n = = n + 1 + x_{n +1} (1 - x_n ) - (1 - x_n ) = n + 1 + (1 - x_n )(x_{n +1} - 1) ≥ n + 1.

Следовательно,

x₁ + x₂ + ... + x_n + x_{n +1} ≥ n+1,

то есть, если P(n) справедливо, то и P(n + 1) справедливо. Неравенство доказано.

Замечание 4. Знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда x₁ = x₂ = ... = x_n = 1.

c) Пусть x₁ ,x₂ ,...,x_n - произвольные положительные числа. Рассмотрим следующие n положительных чисел:

Поскольку их произведение равно единице:

согласно ранее доказанному неравенству b), следует, что

откуда

Замечание 5. Равенство выполняется если и только если x₁ = x₂ = ... = x_n .

d) P(1) - : sin² a + cos² a = 1. ,  P(n) - :

sin²ⁿ a + cos²ⁿ a ≤ 1

,  P(n + 1). ,

sin^{2(n + 1)} a + cos^{2(n + 1)} a = sin²ⁿ asin² a + cos²ⁿ acos² a < sin²ⁿ a + cos²ⁿ a ≤ 1

( sin² a ≤ 1,  cos² a < 1, :  cos² a ≤ 1,  sin² a < 1). ,  n Î N sin²ⁿ a + cos²ⁿ ≤ 1  n = 1.

e) При n = 1 утверждение справедливо: 1 < ³ /₂ .

Допустим, что и докажем, что

Поскольку