Контрольная работа: Основы математического анализа
Покажем, что интеграл сходится при a > 0. Представим этот интеграл в виде суммы двух интегралов:
и докажем сходимость каждого из этих интегралов при a > 0.
Обозначим
и 
.
Если xÎ(0, 1], то: 
. Так как интеграл 
, как это было доказано выше сходится при 1 - a< 1, т.е. при a>0, то по признаку сравнения интеграл 
сходится при a>0. Если xÎ[1, + 
) , то для некоторой константы c>0 выполняется неравенство: 
.
Заметим, что
,
т.е. этот интеграл сходится при любых aÎR. Следовательно, функция Эйлера G(a) = G1 (a) + G2 (a) определена для всех a>0.
Далее, определим функцию
B(a, b) = 
и докажем, что эта функция определена для любых a>0 и b>0.
Обозначим:
и 
.
Если xÎ(0, 1/2], то 
. Интеграл 
сходится по признаку сравнения 1 - a<1, т.е. при a>0 и при любых значениях b. Заметим, что, если в интеграле B2 (a, b) сделать замену t = 1 – x, то мы B1 (b, a), который, как мы выяснили, сходится при b>0 и при любых a.
Следовательно, функция Эйлера B(a, b) = B1 (a, b) + B2 (a, b) определена для любых a>0 и b>0. Отметим (без доказательства) следующие свойства интегралов Эйлера:
1) G(1) = 1
2) G(a + 1) = aG(a), a>0
3) G(n + 1) = n!, nÎN
4) G(a)G(1 - a) =
, 0<a<1
5) G(1/2) = 
6) B(a, b) = 
Пример:
Вычислить интеграл вероятности
.
В силу чётности функции 
интеграл вероятности можно представить в виде:
.
Сделав в этом интеграле замену t = x2 , получим следующий интеграл:
