Контрольная работа: Основы математического анализа

Пример 2. Доказать неравенства

a) неравенство Бернулли: (1 + )ⁿ ≥ 1 + n,  > -1, n  N.

b) x₁ + x₂ + ... + x_n ≥ n, если x₁ x₂ · ... ·x_n = 1 и x_i > 0, .

c) неравенство Коши относительно среднего арифемтического и среднего геометрического

где x_i > 0, , n ≥ 2.

d) sin²ⁿ a + cos²ⁿ a ≤ 1, n ÎN.

e)

f) 2ⁿ > n³ , n Î N, n ≥ 10.

Решение. a) При n = 1 получаем истинное неравенство

1 + a ≥ 1 + a.

Предположим, что имеет место неравенство

(1 + a)ⁿ ≥ 1 + na (1)

и покажем, что тогда имеет место и

(1 + a)^{n + 1} ≥ 1 + (n + 1)a.

,  a > -1  a + 1 > 0,  (1)  (a + 1), 

(1 + a)ⁿ (1 + a) ≥ (1 + na)(1 + a)



(1 + a)^{n + 1} ≥ 1 + (n + 1)a + na²

 na² ≥ 0, ,

(1 + a)^{n + 1} ≥ 1 + (n + 1)a + na² ≥ 1 + (n + 1)a.

Таким образом, если P(n) истинно, то и P(n + 1) истинно, следовательно, согласно принципу математической индукции, неравенство Бернулли справедливо.

b) При n = 1 получим x₁ = 1 и, следовательно, x₁ ≥ 1 то есть P(1) - справедливое утверждение. Предположим, что P(n) истинно, то есть, если adica, x₁ ,x₂ ,...,x_n - n положительных чисел, произведение которых равно единице, x₁ x₂ ·...·x_n = 1, и x₁ + x₂ + ... + x_n ≥ n.

Покажем, что это предложение влечет истинность следующего: если x₁ ,x₂ ,...,x_n ,x_{n +1} - (n + 1) положительных чисел, таких, что x₁ x₂ ·...·x_n ·x_{n +1} = 1, тогда x₁ + x₂ + ... + x_n + x_{n + 1} ≥ n + 1.

Рассмотрим следующие два случая:

1) x₁ = x₂ = ... = x_n = x_{n +1} = 1. Тогда сумма этих чисел равна (n + 1), и требуемое неравество выполняется;

2) хотя бы одно число отлично от единицы, пусть, например, больше единицы. Тогда, поскольку x₁ x₂ · ... ·x_n ·x_{n + 1} = 1, существует еще хотя бы одно число, отличное от единицы (точнее, меньше единицы). Пусть x_{n + 1} > 1 и x_n < 1. Рассмотрим n положительных чисел

x₁ ,x₂ ,...,x_{n -1} ,(x_n ·x_{n +1} ).

Произведение этих чисел равно единице, и, согласно гипотезе,