Контрольная работа: Особливі точки рівняння

Напрямок руху по траєкторіях.

Для з'ясування напрямку закручування інтегральних кривих (спіралей) будуємо вектор швидкості в точці (1,0):

Отже, спаданню відповідає рух по спіралях за ходом годинникової стрілки. При русі за ходом годинникової стрілки інтегральні криві наближаються до початку координат (0,0).

Приблизний вигляд сім’ї інтегральних кривих зображено на рисунку 4.

Рис.4. Положення рівноваги й інтегральні криві [6]

5. Задача 4

Дослідити особливі точки системи. Накреслити інтегральні криві на площині XOY:

Розв’язання.

Для дослідження особливої точки системи

треба знайти розв’язок характеристичного рівняння

У нас , , , . Складаємо характеристичне рівняння

і розв’язуємо його відносно

Розв’язки характеристичного рівняння дійсні й мають різні знаки. Отже, особлива точка (0, 0) - сідло. Сідло є нестійкою точкою спокою.

1. Перший спосіб побудови інтегральних кривих.

Власний вектор , що відповідає власному числу , знаходимо, підставляючи в рівняння

значення . Маємо

Власний вектор (1,1) матриці коефіцієнтів даної системи, відповідає власному числу .

Власний вектор , що відповідає власному числу , знаходимо, підставляючи в рівняння