1. Пределы последовательностей и функций. 2

2. Производная и дифференциал. 3

3 Геометрические изложения и дифференцированные исчисления (построение графиков) 4

4. Неопределенный интеграл. 7

5. Определенный интеграл. 9

6. Функции нескольких переменных, дифференцированных исчислений. 11

Литература. 12

1. Пределы последовательностей и функций

Числовой последовательностью называется числовая функция, определенная на множестве натуральных чисел. Задать числовую последовательность означает задать закон, по которому можно определить значение любого члена последовательности, зная его порядковый номер п ; для этого достаточно знать выражение общего или п -го члена последовательности в виде функции его номера: .

В основе всех положений математического анализа лежит понятие предела числовой последовательности. Число А называется пределом числовой последовательности , если для любого сколь угодно малого положительного числа e существует такой номер , зависящий от выбранного e, начиная с которого все члены последовательности отличаются от А по модулю меньше, чем на e, т. е.

при .

Если последовательность имеет предел А , то она называется сходящейся (к числу А ) и этот факт записывают следующим образом:

.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Выберем в некоторой окрестности этой точки какую-нибудь последовательность сходящуюся к точке : . Значения функции в выбранных точках образуют последовательность , и можно ставить вопрос о существовании предела этой последовательности.

Число А называется пределом функции в точке , если для любой сходящейся к последовательности значений аргумента, отличных от , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А , т. е.

.

Возможно иное определение предела функции в точке: число А называется пределом функции при , если для всякого положительного числа e можно указать другое положительное число d (зависящее от выбора e) такое, что абсолютная величина разности будет меньше e, когда абсолютная величина разности будет меньше , но больше нуля

, если при .

Таким образом, первое определение предела функции основано на понятии предела числовой последовательности, и его называют определением на «языке последовательностей ». Второе определение носит название «на языке ».

Кроме понятия предела функции в точке, существует также понятие предела функции при стремлении аргумента к бесконечности: число А называется пределом функции при , если для любого числа существует такое число d, что при всех справедливо неравенство : .

Теоремы о пределах функций являются базой для общих правил нахождения пределов функций. Можно показать, что арифметические операции над функциями, имеющими предел в точке , приводят к функциям, также имеющим предел в этой точке.

Примеры

Найти предел функции

Решение: Имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель на множители и сократим на общий множитель , который при не равен нулю. В результате неопределенность будет раскрыта.

2. Производная и дифференциал

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки .

Производной функции в точке называется предел отношения , когда (если этот предел существует). Производная функции в точке обозначается

.

Например, выражение следует понимать как производную функции в точке .

Определение производной можно записать в виде формулы

. (4.1)

Предел (4.1) может не существовать. В этом случае говорят, что функция не имеет производной в точке . Если предел (4.1) равен , то говорят, что функция имеет в точке бесконечную производную.

В различных задачах (в том числе и экономических) производная функции интерпретируется как скорость изменения величины y относительно x . Геометрический смысл производной состоит в том, что – это тангенс угла наклона касательной к графику в точке .

Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции. Если функция в точке х имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке.

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--