7) ;

2) ;

8) ;

3) ;

9) ;

4) ;

10)

5) ;

11) ;

6) ;

12) .

Интегралы, содержащиеся в этой таблице, называются табличными .

Пример. Найти неопределенный интеграл. Результат интегрирования проверить дифференцированием

Решение: Для нахождения неопределенных интегралов можно воспользоваться как методом замены переменной, так и методом внесения под знак дифференциала. Покажем оба метода.

1. Воспользуемся методом замены переменной. Введем новую переменную t по формуле . Тогда или . Тогда

После замены переменной воспользовались свойством неопределенного интеграла: постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла, и так как , то пришли к табличному интегралу , где и .

2. Решим этот пример методом внесения под знак дифференциала. Замечая, что и то, что подынтегральное выражение можно представить в виде

,

внесем под знак дифференциала . Для этого выпишем дифференциал этой функции . Тогда

После внесения под знак дифференциала функции пришли к табличному интегралу , где и .

3. Результат интегрирования проверим дифференцированием. Для этого найдем производную

Таким образом, производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, следовательно, интеграл от данной функции найден, верно.

5. Определенный интеграл

Определение определенного интеграла. Пусть функция задана на отрезке [а , b ]. Разобьем отрезок [а , b ] на п произвольных частей точками

.

Точки, разделяющие отрезок [а , b ] на частичные отрезки длиной , называются точками разбиения . Внутри каждого частичного отрезка выберем произвольную точку . Образуем сумму произведений