Контрольная работа: Производная дифференциал и интеграл
Пример. Провести полное исследование функции
Решение:
Проведем полное исследование функции, используя следующую схему:
- найти область определения функции;
- исследовать на четность и нечетность функцию;
- найти точки разрыва функции;
- найти асимптоты (вертикальные, наклонные и горизонтальные) графика функции;
- найти точки пересечения графика функции с координатными осями;
- исследовать функцию на монотонность (указав интервалы возрастания и убывания) и экстремум;
- определить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции, точки перегиба;
- при необходимости вычислить значения функции в дополнительных точках;
- построить схематично график функции, используя результаты полученные в пунктах 1-8.
Областью определения функции является множество 
.
Так как 
и 
, то функция не является ни четной, ни нечетной.
Функция претерпевает разрыв в точке 
.
Найдем асимптоты графиков функции:
а). Прямая является вертикальной асимптотой, т.к.
, 
б). Находим наклонные и горизонтальные асимптоты (горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных асимптот) 
,
где 
;
Таким образом, прямая 
является единственной наклонной асимптотой и на 
, и на 
.
Найдем точки пересечения графика функции с осями координат.
а) С осью 
: 
, 
, т.е. точка пересечения с осью - 
.
б) С осью 
: 
, 
, т.е. точка пересечения с осью 
- 
.
6. Исследуем функцию на возрастание, убывание и экстремум. Для этого найдем производную функции.
Из 
получаем 
, откуда 
, 
.
+ _ +
______________________________________ x
-3 11
Так как на интервалах 
и 
производная положительна, т.е. 
, то график функции на указанных интервалах возрастает. Так как на интервале 
производная отрицательна, т.е. 
, то на указанном интервале график функции убывает.
Так как при переходе через точки , производная функции меняет знаки и эти точки входят в область определения функции, то , - точки локального экстремума. Причем точка локального минимума: 
(так как при переходе через нее производная меняет знак с "+" на "-"); - точка локального максимума: 
(так как при переходе через нее производная меняет знак с "-" на "+").
7. Исследуем график функции на выпуклость, вогнутость и определим точки перегиба. Для этого найдем вторую производную функции.
Очевидно, что в интервале 
вторая производная меньше нуля, т.е. 
, и в этом интервале график функции является выпуклым вверх. В интервале 
вторая производная больше нуля, т.е. 
, и в этом интервале график функции является выпуклым вниз (вогнутым).