Воспользуемся методом замены переменной. Введем новую переменную t по формуле . Тогда или . Осуществим пересчет пределов интегрирования, используя вид замены. Подставим нижний предел интегрирования старой переменной в выражение и найдем нижний предел интегрирования новой переменной . Аналогично, подставляя верхний предел интегрирования старой переменной , найдем верхний предел интегрирования новой переменной . Тогда

6. Функции нескольких переменных, дифференцированных исчислений

До сих пор рассматривались функции одной переменной х . В случае зависимости параметров какого-то процесса или явления от многих факторов вводится понятие функции нескольких переменных .

Пусть каждому набору значений n переменных величин из множества M , называемых независимыми переменными , по какому-либо закону ставится в соответствие некоторое число z , называемое зависимой переменной . Тогда говорят, что задана функция нескольких переменных .

z y O x M Рис. 3

Функция одной переменной изображается на плоскости в виде линии. В случае двух переменных область определения M функции представляет собой некоторое множество точек на координатной плоскости О xy и тогда графиком функции является некоторая поверхность (рис. 3).

Приведем примеры функций нескольких переменных.

1. Функция вида , где – постоянные числа, называется линейной или гиперплоскостью -мерном пространстве .

2. Функция вида , где – постоянные числа, называется квадратичной формой от переменных .

При рассмотрении функций в n -мерном пространстве широко используется геометрический язык, хотя буквальное понимание геометрических терминов возможно только при п = 2 и п = 3.

Далее для наглядности будем рассматривать функции двух переменных (), хотя практически все понятия и теоремы, сформулированные для , переносятся на случай . Основные понятия математического анализа, введенные для функции одной переменной, переносятся на случай двух переменных. Так, число А называется пределом функции в точке , если для любого числа можно найти число такое, что для всех точек из d-окрестности точки М выполняется неравенство . Для обозначения предела функции в точке используется символика

.

Окрестностью точки называется круг, содержащий точку М .

В случае функции двух переменных аргумент может стремиться к предельной точке по различным направлениям на плоскости, поэтому следует говорить о пределах функции в точке вдоль определенных линий .

Функция называется непрерывной в точке , если предел функции в этой точке существует и равен значению функции в этой точке, т. е. . Геометрический смысл непрерывности функции при очевиден: график функции представляет собой в точке непрерывности сплошную поверхность в некоторой окрестности этой точки.

Пример. Найти экстремум функции двух переменных z = x² + y² , x Î [-20, 20], y Î [-10, 10].

Решение .

Необходимое условие экстремума = 2х = 0, = 2у = 0, откуда координаты стационарной точки (х_ст , у_ст ) = (0, 0).

Вторые производные А = = 2; В = = 0; С = = 2. Так как AC - B² = 4 > 0, то в точке (0, 0) — локальный минимум.

Значение функции в точке минимума z (0, 0) = 0.

Литература:

1. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. - М.: Джангар, 2000. - 864 с.
2. Гордон В.А., Шмаркова Л.И. Краткий курс математики / Учебное пособие. – Орёл: ОрёлГТУ, 2000. – 96 с.
3. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: М.: Наука, 1972.