Контрольная работа: Система линейных уравнений
a21 x1 + a22 x2 + …+ a2n xn = b2 ; (2)
……………………………………
an 1 x 1 + an 2 x 2 + …+ ann xn = bn ;
Определителем системы (2) называется определитель, составленный из коэффициентов а ij .
a11 a12 … a1n
∆ = a21 a22 … a2n
…………………………
an1 an2 … ann
Рассмотрим случай, когда ∆ ≠ 0. Докажем, что в этом случае система (2) является определенной, т.е. имеет одно единственное решение. Как и ранее, через А ij будем обозначатьалгебраическое дополнение элемента а ij в определителе ∆.
Умножим каждое уравнение системы (2) на алгебраические дополнения элементов i -го столбца определителя ∆ , т.е. первое уравнение умножим на А1 i , второе – на А2 i и т.д., наконец, последнее уравнение – на А ni , а затем все полученные уравнения системы сложим. Врезультатебудемиметь
(a11 x1 + a12 x2 + …+ a1i xi + …+ a1n xn ) A1i + (a21 x1 + a22 x2 + …+ a2i xi +
+ …+ a2n xn ) A2i + …+ (an1 x1 + an2 x2 + …+ ani xi + …+ an xnn ) Ani = b1 A1i + b2 A2i + …+ bn Ani
или, сгруппировав члены относительно известных x 1 , x 2 , …, xn , получим
(a11 A1i + a21 A2i + …+ an1 Ani ) x1 + … +
+ (a1i A1i + a2i A2i + …+ ani Ani ) xi + … +
+ (a1n A1i + a2n A2i + …+ ann Ani ) xn =
= b1 A1i + b2 A2i + …+ bn Ani . (3)
Коэффициент при неизвестной х i равен определителю ∆, а коэффициенты при всех других неизвестных равны нулю. Свободный член уравнения (3) отличается от коэффициента при х1 тем, что коэффициенты а1 i , а2 i , …, а ni заменены свободными членами b 1 , b 2 , …, bn уравнения (2). Следовательно, выражение b 1 A 1 i + b 2 A 2 i + …+ bn Ani есть определитель i -го порядка, отличающийся от определителя только i -м столбцом, которыйзамененстолбцом свободных членов. Обозначив этот определитель ∆ xi , будем иметь
a11 a12 … b1 … a1 n
∆ xi = a 21 a 22 … b 2 … a 2 n . (3)
………………………………
an 1 an 2 … bn … ann
Таким образом, уравнение (3) можно записать в виде
∆х =∆ xi ,
откуда при ∆ ≠ 0
х = ——
Придавая индексу i значения 1, 2, …, n , получаем:
 |
х1 = ——;
х2 = ——;
(4)
………………