Контрольная работа: Система линейных уравнений
b 2 = а21 с1 + а22 с2 + …+ а2 n сn;
. …………………………………
b m = аm1 с1 + аm2 с2 + …+ аm n сn
где c 1 , c 2 ,. .., сп — коэффициенты линейных комбинаций. Таким образом, системе (14) удовлетворяют значения x 1 = c 1 ,..., хп = сп , следовательно, она совместна. Теорема доказана.
Доказанная теорема совместности системы линейных уравнений называется теоремой Кронекера – Капелли.
Пример 1. Рассмотрим систему
5 x 1 – x 2 + 2 x 3 + x 4 = 7;
2 x 1 + x 2 – 4 x 3 – 2 x 4 = 1;
x 1 – 3 x 2 + 6 x 3 – 5 x 4 = 0.
Ранг основной матрицы этой системы равен 2, так как существует отличный от нуля минор второго порядка этой матрицы, а все миноры третьего порядка равны нулю. Ранг расширенной матрицы этой системы равен 3, так как существует отличный от нуля минор третьего порядка этой матрицы. Согласно критерию Кронекера – Капелли система несовместна, т.е. не имеет решений.
Используя критерий Кронекера – Капелли, проведем исследование системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными x и y :
a1 x + b1 y = c1 ,
a2 x + b2 y = c2 . (13)
Основная матрица этой системы
a 1 b 1
a 2 b 2
имеет ранг r , причем 0 < r < 2.
Расширенная матрица
a 1 b 1 с1
a 2 b 2 с2
имеет ранг R , причем 0 < r < R . Очевидно, что r < R < r +1.
Имеют место следующие утверждения.
Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя неизвестными (13). Тогда:
1. Если r = R = 0 , т.е. если все коэффициенты a 1 , a 2 , b 1 , b 2 , c 1 , c 2 равны нулю, то любая пара действительных чисел является решением системы (13).
2. Если r = 0, R = 1, т.е.a 1 = a 2 = b 1 = b 2 = 0 иc + c ≠ 0, то система (13) не имеет решений.
3. Если r =1, R = 1, то система (13) имеет бесконечно много решений, но не любая пара действительных чисел есть её решение.
4. Если r = 1, R = 2, то система (13) не имеет решений.
5. Если r = 2, R = 2, то система (13) имеет единственное решение, которое можно найти по правилу Крамера.
Справедливы и обратные утверждения.