Контрольная работа: Система линейных уравнений

причем b 0, то совершенно очевидно, что ни одна система значений х₁ , х₂ ..., х_п не удовлетворяет этому уравнению, а следовательно, и системе в целом, поэтому система несовместна.

Пусть теперь система (6) не содержит уравнений вида (7) или (8). Это значит, что в каждом уравнении системы хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля. Пусть a ₁₁ 0 (в противном случае, применив элементарные преобразования, мы сможем добиться, чтобы первый коэффициент первого уравнения был отличен от нуля). Оставив первое уравнение без изменения, исключим из всех уравнений системы (6),начиная со второго, неизвестную х₁ . Для этого из второго уравнения вычтем первое, умноженное на a ₂₁ /a ₁₁ , затем из третьего уравнения вычтем также первое, но уже умноженное на a ₃₁ /a ₁₁ , и так до последнего уравнения. В результате этих преобразований мы получим равносильную систему

а₁₁ х₁ + а₁₂ х₂ + … + а_{1 n} х_n = b_1;

а′₂₂ х₂ + …+ а′_{2 n} х_n = b′_2;

………………………… (9)

а′_m2 х₂ + …+ а′_{m n} х_n = b′_m

Заметим, что в системе (9) число уравнений может быть и меньше m , так как среди них могут оказаться уравнения вида (7), которые, как мы условились ранее, можно отбросить.

Пусть а₂₂ 0. Применим те же самые рассуждения и исключим из последних п – 2 уравнений системы (9) неизвестную х₂ путем вычитания из третьего уравнения второго, умноженного наa ′₃₂ /a ′_22, из четвертого уравнения — второго, умноженного на a ′₃₄ /a ′₂₂ и т. д. В результате получим систему

а₁₁ х₁ + а₁₂ х₂ + а₁₃ х₃ + …+ а_{1 n} х_n = b_1;

а′₂₂ х₂ + а′₂₃ х₃ + …+ а′_{2 n} х_n = b′_2;

а′′₃₃ х₃ + …+ а″₃ х_n = b″_3;

……………………………

а″_m3 х₃ +…+а″_{m n} х_n = b″_m

_.

Продолжая этот процесс, систему (6) приведем к равносильной системе вида

c₁₁ х₁ + c ₁₂ х₂ + c ₁₃ х₃ + …+ c _{1 k} х _k +…+ c _{1 n} х _n = d _1;

c ₂₂ х₂ + c ₂₃ х₃ + …+ c _{2 k} х _k +…+ c _{2 n} х _n = d _2;

c ₃₃ х₃ + …+ c _{3 k} х _k +…+ c _{3 n} х _n = d _3; (10)

………………………………………

c_kk х _k +…+ c_kn х _n = d_{k .}

в которой коэффициенты c_11, c _22,. .., c_kk отличны от нуля.

Может оказаться, что в процессе преобразования на каком-то шаге в полученной системе окажется уравнение вида (8). В этом случае система (7) не имеет решений. Предположим теперь, что среди уравнений полученной системы нет уравнения вида (8). Тогда для решения системы (6) необходимо решить систему (9), что не составляет особого труда. Рассмотрим два возможных случая.

1. k = n (это частный случай, когда число уравнений совпадает с числом неизвестных). Тогда последнее уравнение системы (10) имеет вид с_пп х_п = d_n , откуда х_п = d_n / c_nn . Подставив это значение в предпоследнее уравнение системы (7), имеющее вид

c_{n -1 n -1} x_{n -1} + c_{n -1 n} x_n = d_{n -1} , найдем значение неизвестной x_{n -1} и т. д.; наконец, из первого уравнения найдем неизвестную x ₁ Таким образом, в случае k = п система уравнений (6) имеет единственное решение.

2. k < n . Тогда из последнего уравнения системы (10), найдем неизвестную x_k , выраженную через неизвестные х_k+1, х_k+2,. ..x_{n :}

x_k = (d_kk – c_{k k +1} x_{k +1} – … – c_kn x_n )

Подставив это значение неизвестной в предпоследнее уравнение системы (10), найдем выражение для неизвестной х_k-1, и т. д.; наконец, подставив значения неизвестных х_k, х_k-1,. ..x ₂ в первое уравнение системы (10), получим выражение для неизвестной x₁ . В результате указанная система уравнений (6) приводится к виду

x₁ = d′₁ + c′_{1 k+1} x_k+1 + …+ c′_1n x_n ;

x₂ = d′₂ + c′_{2 k+1} x_k+1 + …+ c′_2n x_n ; (11)