Контрольная работа: Система линейных уравнений

Рассмотренный метод решения системы уравнений называется правилом Крамера , а формулы (4) – формулами Крамера .

3. Однородная система п линейных уравнений, с n неизвестными

Линейное уравнение называется однородным, если его свободный член равен нулю. Система линейных уравнений называется однородной, если все входящие в нее уравнения являются линейными однородными уравнениями.

Однородная система п линейных уравнений с п неизвестными имеет вид:

а₁₁ х₁ + а₁₂ х₂ + …+ а_{1 n} х_n = 0;

а₂₁ х₁ + а₂₂ х₂ + …+ а_{2 n} х_n = 0; (5)

…………………………………

а _{n 1} х₁ + а _{n 2} х₂ + …+ а _nn х_n = 0.

Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что однородная система линейных уравнений (5) имеет нулевое решение:

х₁ = 0, х₂ = 0,..., х_п = 0.

Таким образом, однородная система линейных уравнений (5) всегда

совместна. Поэтому важно выяснить, при каких условиях она является определенной. Покажем, что однородная система п линейных уравнений с п неизвестными имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель ее равен нулю.

В самом деле, пусть D = 0. Так как однородная система уравнений является частным случаем неоднородной системы, то к ней применимо правило Крамера. Но для однородной системы все D x_i = 0, так как каждый из этих определителей содержит столбец из нулей (b_i = 0 ). Поэтому система, равносильная системе (3), будет иметь вид

D _{x 1=} 0, D _{x 2=} 0;..., D _{x n=} 0

Из этой системы следует, что однородная система (5) имеет единственное нулевое решение, если Δ 0; если же D = 0, то из условий (3) следует, что она имеет бесчисленное множество решений.

4. Метод Гаусса решения общей системы с линейных уравнений

Практическое значение правила Крамера для решения системы n линейных уравнений с п неизвестными невелико, так как при его применении приходится вычислять п +1 определителей n -го порядка: D , D _{x 1} , D _{x 2} , …, D x_n . Более удобным является так называемый метод Гаусса. Он применим и в более общем случае системы линейных уравнений, т. е. когда число уравнений не совпадает с числом неизвестных.

Итак, пусть дана система, содержащая m линейных уравнений с п неизвестными:

а₁₁ х₁ + а₁₂ х₂ + …+ а_{1 n} х_n = b₁ ;

а₂₁ х₁ + а₂₂ х₂ + …+ а_{2 n} х_n = b₂ ; (6)

_. ……………………………………

а_m1 х₁ + а_m2 х₂ + …+ а_{m n} х_n = b_m

Требуется найти все решения системы уравнений (6). Будем производить над системой элементарные преобразования: исключение из системы уравнения вида

0х₁ + 0х₂ + …+ 0х_n = 0 ( 7)

и прибавление к обеим частям одного из уравнений системы соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое число l .

Очевидно, что если мы проделаем над уравнениями системы (6) любое из приведенных выше преобразований, то получим систему, равносильную исходной. При необходимости систему (6) будем подвергать еще одному виду преобразований – перенумерации переменных и уравнений. Идея этого преобразования заключается в следующем. Если, например, возникает необходимость, чтобы в каком-то уравнении системы (например, в k - м) неизвестная x ₁ стояла на первом месте, то в результате перенумерации соответствующее уравнение запишется в виде

a_ki x₁ +. .. + a_k2 x₂ + … + a_k1 x_i +. .. + a_kn x_n = b_k ,

т. е. вместо прежней неизвестной х_i мы будем писать х₁ , а вместо x ₁ – х _i Метод Гаусса решения системы (6) заключается в последовательном исключении переменных.

Если среди уравнений системы есть хотя бы одно уравнение вида