Контрольная работа: Система линейных уравнений

2. Если любая пара действительных чисел является решением системы (13), то r = R = 0.

3. Если система (13) не имеет решений, то r ≠ R , т.е. либо r =0 и

R = 1, либоr =1 иR = 2.

4. Если система (13) имеет бесконечно много решений, но не любая пара действительных чисел является её решением, то r = R = 1.

Приведём доказательство этих утверждений только в том случае, когда оба уравнения системы (13) являются уравнениями первой степени, т.е. когда выполняются условия a + b ≠ 0, a+ b ≠ 0. В этом случае каждое уравнение этой системы в отдельности определяет прямую на плоскости, где задана система координат xOy . Это дает возможность придать геометрический характер дальнейшим рассуждениям при исследовании системы (13)

Теорема 2.2. Пусть две прямые заданы уравнениями

a₁ x + b₁ y – c₁ = 0,

a₂ x + b₂ y – c₂ = 0, (14)

где a + b ≠ 0, a + b ≠ 0.

1. Для того, чтобы две прямые пересеклись, необходимо и достаточно, чтобы r = R = 2.

2. Для того, чтобы две прямые были параллельными, но не совпадали, необходимо и достаточно, чтобы r = 1, R = 2.

3. Для того, чтобы две прямые совпадали, необходимо и достаточно, чтобы r = R = 1.

Доказательство. Сначала докажем достаточность условий.

1. Если r = R = 2 , то система (14) имеет единственное решение, которое легко найти по правилу Крамера, а это означает, что прямые имеют одну общую точку, т.е. пересекаются.

2. Если r = 1, R = 2, то система (14) несовместна и поэтому прямые не имеют общих точек, т.е. параллельны и не совпадают.

3. Если r = R = 1, то все миноры второго порядка основной и расширенной матриц равны нулю, т.е.

a₁ b₁ = 0, c₁ b₁ = 0, a₁ c₁ = 0.

a₂ b₂ c₂ b₂ a₂ c₂

Эти условия можно переписать так:

a₁ b₂ = b₁ a₂ , (15)

c₁ b₂ = b₁ c₂ , (16)

a₁ c₂ = c₁ a₂ . (17)

Рассмотрим теперь все возможные случаи.

а) Если а₁ = 0, то b ₁ ≠ 0, так как a ₁ + b ₁ ≠ 0. Тогда из (15) следует, что а₂ = 0, а так как a ₂ + b ₂ ≠ 0, то b ₂ ≠ 0. Тогда из (16) находим, что c ₁ / b ₁ = c ₂ / b ₂ = α и при этом уравнения прямых примут вид

b ₁ ( y – α ) = 0, b ₂ ( y – α ) = 0. Поскольку b ₁ ≠ 0, b ₂ ≠ 0, то отсюда вытекает, что эти прямые совпадают с прямой y – α = 0.

б) Если b ₁ = 0 , то а₁ ≠ 0, а из (15) тогда следует, что b ₂ = 0 (причем

а₂ ≠ 0 ). Тогда из (17) имеем c ₁ / a ₁ = c ₂ / a ₂ = β , и поэтому уравнения прямых примут вид а₁ ( x – β ) = 0, а₂ ( x – β ) = 0. Поскольку

а₁ ≠ 0, а₂ ≠ 0 , то отсюда вытекает, что эти прямые совпадают с прямой x – β = 0.

в) Если а₁ ≠ 0 иb ₁ ≠ 0 , то из (15) вытекает, что а₂ / a ₁ = b ₂ / b ₁ = γ , а из (16) и (17) вытекает, что с₂ = b ₂ c ₁ / b ₁ = a ₂ c ₁ / a ₁ . Т.е. получаем, что