Контрольная работа: Система линейных уравнений

Содержание

Введение

1. Основные понятия

2. Система n линейных уравнений с n неизвестными. Правило Крамера

3. Однородная система п линейных уравнений, с n неизвестными

4. Метод Гаусса решения общей системы с линейных уравнений

5. Критерий совместности общей системы линейных уравнений

Заключение

Список литературы

Введение

Многие теоретические и практические вопросы приводят не к одному уравнению, а к целой системе уравнений с несколькими неизвестными. Особенно важен случай системы линейных уравнений , т.е. системы m уравнений 1ой степени сn неизвестными:

a₁₁ x₁ + … + a_1n x_n = b₁ ;

a₂₁ x₁ + … + a_2n x _n = b₂ ;

………………………………

a_{m 1} x ₁ + … + a_mn x_n = b_m .

Здесь x₁ , …, x_n – неизвестные, а коэффициенты записаны так, что индексы при них указывают на номер уравнения и номер неизвестного. Значение систем 1-й степени определяется не только тем, что они простейшие. На практике часто имеют дело с заведомо малыми величинами, старшими степенями которых можно пренебречь, так что уравнения с такими величинами сводятся в первом приближении к линейным. Не менее важно, что решение систем линейных уравнений составляет существенную часть при численном решении разнообразных прикладных задач.

Способы решения систем линейных уравнений – очень интересная и важная тема. Системы уравнений и методы их решения рассматриваются в школьном курсе математики, но недостаточно широко. А для того, чтобы перейти к исследованию данной темы, также нужно было познакомиться с темой матриц и определителей. Этот же материал вообще в школьной программе не изучается. В процессе знакомства с данной работой приобретаются навыки, с помощью которых в последующем решение систем линейных уравнений станет намного проще, понятнее и быстрее.

Цель моей работы заключается в том, чтобы изучить различные способы решения систем линейных уравнений для применения их на практике.

1. Основные понятия

В самом общем случае система линейных уравнений имеет следующий вид:

a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ + …+ a_1n x_n = b₁ ;

a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ + …+ a_2n x_n = b₂ ; (1)

……………………………………

a_{m 1} x ₁ + a_{m 2} x ₂ + …+ a_mn x_n = b_m ;

где х₁ , х₂ , …, х _n - неизвестные, значения которых подлежат нахождению. Как видно из структуры системы (1), в общем случае число неизвестных не обязательно должно быть равно числу уравнений самой системы. Числа а₁₁ , а₁₂ , …, а _mn называются коэффициентами системы , а b ₁ , b ₂ , …, b_m - её свободными членами. Для удобства коэффициенты системы а _ij (i =1, 2,..., m ; j = 1, 2,..., n ) и свободные члены b_i (i =1, 2,..., m ) снабжены индексами. Первый индекс коэффициентов а _ij соответствует номеру уравнения, а второй индекс – номеру неизвестной х _i , при которой коэффициент поставлен. Индекс свободного члена b_i соответствует номеру уравнения, в которое входит b_i .

Дадим определения некоторых понятий, необходимых при изучении системы уравнений. Решением системы уравнений (1) называется всякая совокупность чисел α ₁ , α ₂ , α_n , которая будучи поставлена в систему (1) на место неизвестных х₁ , х₂ , …, х _n , обращает все уравнения системы в тождества. Система уравнений называется совместной , если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной , если не имеет решений. Совместная система уравнений называется определенной , если она имеет одно единственное решение, и неопределенной , если она имеет по крайней мере два различных решения.

Две системы уравнений называются равносильными или эквивалентными , если они имеют одно и тоже множество решений.

2. Система n линейных уравнений с n неизвестными. Правило Крамера

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными:

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--