Контрольная работа: Система линейных уравнений

x_k = d′_k + c′_{k k+1} x_k+1 + …+ c_kn x_n .

Неизвестные х_k+1, х_k+2 , …,х_п называются свободными. Им можно придать различные значения и затем из системы (6) найти значения неизвестных х_1, х₂ , …,х _k . Таким образом, в случае k < п совместная система уравнений (6) имеет бесчисленное множество решений.

Заметим, что если в процессе приведения системы (6) к системе (11) была произведена перенумерация неизвестных, то в системе (11) необходимо вернуться к их первоначальной нумерации.

На практике процесс решения системы уравнений облегчается тем, что указанным выше преобразованиям подвергают не саму систему, а матрицу, составленную из коэффициентов уравнений системы (6) и их свободных членов. При этом каждому элементарному преобразованию, проведенному над системой (6), соответствует преобразование над матрицей (12): вычеркивание строки, все элементы которой состоят из нулей, прибавление к элементам некоторой строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на некоторое число, и перестановка двух столбцов матрицы (12).

Пример 1. Решить методом Гаусса систему уравнений

x ₁ – 2 x ₂ + x ₃ + x ₄ = –1;

3 x ₁ + 2 x ₂ – 3 x ₃ – 4 x ₄ = 2;

2 x ₁ – x ₂ + 2 x ₃ – 3 x ₄ = 9;

x ₁ + 3 x ₂ – 3 x ₃ – x ₄ = –1.

5. Критерий совместности общей системы линейных уравнений

Как уже было отмечено, под общей системой линейных уравнений мы понимаем систему (2) в которой число неизвестных необязательно совпадает с числом уравнений.

Пусть дана общая система линейных уравнений (2)и требуется установить признак существования решения этой системы, т.е. условия, при которых система (2)является совместной.

Из коэффициентов при неизвестных и свободных членов системы (2) составим матрицу

a₁₁ a₁₂ … a_1n

A = a₂₁ a₂₂ … a_2n

……………………

a_m1 a_m2 … a_mn

которую назовем основной матрицей системы (2), и матрицу

a₁₁ a₁₂ … a_1n b₁

B = a₂₁ a₂₂ … a_2n b₂

……………………… …… (13)

a_{m 1} a_{m 2} … a_mn b_m

которую назовем расширенной матрицей системы (2).

Теорема 2.1. Для того чтобы система (2) линейных неоднородных уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы системы был равен рангу ее основной матрицы.

Доказательство. Необходимость. Пусть система (2) совместна и c ₁ , c₂ ,..., с_п – некоторое ее решение. Тогда имеют место равенства:

а₁₁ с₁ + а₁₂ с₂ + …+ а_{1 n} с_n = b₁ ;

а₂₁ с₁ + а₂₂ с₂ + …+ а_{2 n} с_n = b₂ ;

_. ……………………………………

а_m1 с₁ + а_m2 с₂ + …+ а_{m n} с_n = b_m

из которых следует, что последний столбец расширенной матрицы (13) есть линейная комбинация остальных ее столбцов с коэффициентами с₁ , с₂ ,..., с_п . Согласно предложению 2, последний столбец матрицы В может быть вычеркнут без изменения ее ранга. При этом мы из матрицы В получим матрицу А. Таким образом, если ci, c_z ,..., с_п — решение системы уравнении (2), то rangА = rangВ .

Достаточность. Пусть теперь rangA = rangВ. Покажем, что при этом система уравнений (2) совместна. Рассмотрим r базисных столбцов матрицы А. Очевидно, что они будут базисными столбцами и матрицы В. Согласно теореме о базисных строках и столбцах, последний столбец матрицы В можно представить как линейную комбинацию базисных столбцов, а следовательно, и как линейную комбинацию всех столбцов матрицы А, т.е.