Контрольная работа: Составление и решение уравнений линейной регрессии

y1= a01 + b12 y2 + a11 x1 + e 1

y2= a02 + b21 y1 + a22 x2 + e 2

Вар.	n	y1	y2	x1	x2
8	1	61,3	31,3	9	7
	2	88,2	52,2	9	20
	3	38,0	14,1	4	2
	4	48,4	21,7	2	9
	5	57,0	27,6	7	7
	6	59,7	30,3	3	13

Решение

Для построения модели мы располагаем информацией, представленной в табл. 13.

Таблица 13. Фактические данные для построения модели

n	y1	y2	x1	x2
1	61,3	31,3	9	7
2	88,2	52,2	9	20
3	38	14,1	4	2
4	48,4	21,7	2	9
5	57	27,6	7	7
6	59,7	30,3	3	13
Сумма	352,60	177,20	34,00	58,00
Среднее значение	58,77	29,53	5,67	9,67

Структурная форма модели преобразуется в приведенную форму:

у1= d 11 x 1+ d 12 x 2+ u 1

y 2= d 21 x 1+ d 22 x 2+ u 2 , где u1 и u2 – случайные ошибки.

Для каждого уравнения приведенной формы при расчете коэффициентов d можно применить МНК. Для упрощения расчетов можно работать с отклонениями от средних уровней у=у-у_ср и х=х-х_ср . Преобразованные таким образом данные табл. 13 сведены в табл. 14. Здесь же показаны промежуточные рассчеты, необходимые для определения коэффициентов d .

Таблица 14

n	у1	у2	х1	х2	у1*х1	х1 2	х1*х2	у1*х2	у2*х1	у2*х2	х2 2
1	2,53	1,77	3,33	-2,67	8,444	11,111	-8,889	-6,756	5,889	-4,711	7,111
2	29,43	22,67	3,33	10,33	98,111	11,111	34,444	304,144	75,556	234,222	106,778
3	-20,77	-15,43	-1,67	-7,67	34,611	2,778	12,778	159,211	25,722	118,322	58,778
4	-10,37	-7,83	-3,67	-0,67	38,011	13,444	2,444	6,911	28,722	5,222	0,444
5	-1,77	-1,93	1,33	-2,67	-2,356	1,778	-3,556	4,711	-2,578	5,156	7,111
6	0,93	0,77	-2,67	3,33	-2,489	7,111	-8,889	3,111	-2,044	2,556	11,111
Σ	0,00	0,00	0,00	0,00	174,333	47,333	28,333	471,333	131,267	360,767	191,333

Для нахождения коэффициентов первого приведенного уравнения можно использовать систему нормальных уравнений:

Σу₁ х₁ =d₁₁ Σx ₁ ² + d ₁₂ Σx ₁ x ₂ ;

Σy ₁ x ₂ = d ₁₁ Σx ₁ x ₂ + d ₁₂ Σx ₂ ² .

Подставляя рассчитанные в табл. 14 значения сумм, получим:

174,333= 47,333d₁₁ +28,333 d ₁₂

471,333=28,333 d ₁₁ +191,333 d ₁₂ .

Решение этих уравнений дает значения d₁₁ =2,423, d₁₂ =2,105. Первое уравнение приведенной формы примет вид: у₁ =2,423х₁ +2,105х₂ + u ₁ .

Для нахождения коэффициентов второго приведенного уравнения можно использовать систему нормальных уравнений:

Σу₂ х₁ =d₂₁ Σx ₁ ² + d ₂₂ Σx ₁ x ₂

Σy ₂ x ₂ = d ₂₁ Σx ₁ x ₂ + d ₂₂ Σx ₂ ²

Подставляя рассчитанные в табл. 14 значения сумм, получим:

131,267=47,333d₂₁ +28,333 d ₂₂

360,767=28,333 d ₂₁ +191,333 d ₂₂ .

Решение этих уравнений дает значения d₂₁ =1,805, d₂₂ =1,618. Второе уравнение приведенной формы примет вид: у₂ =1,805х₁ +1,618х₂ + u ₂

Для перехода от приведенной формы к структурной форме модели найдем х₂ из второго уравнения приведенной модели:

х₂ =(у₂ -1,805х₁ )/1,618 .

Подставив это выражение в первое уравнение приведенной модели, найдем структурное уравнение:

у₁ =2,423х₁ +2,105 (у₂ -1,805х₁ )/1,618 =2,423х₁ +1,3у₂ -1,115х₁ =1,3у₂ +1,308х₁

Таким образом, b ₁₂ =1,3 а₁₁ =1,308 .