Контрольная работа: Управление динамической системой
Для того чтобы из системы (1) найти функции ω(t) и μ(t), необходимо понизить степень системы, то есть избавиться от производных второго порядка. Для этого введем функцию Z(t)= μ'(t), получим систему вида:
(2)
Решая систему численно, получаем табличные значения ω(t) и μ(t), по которым строим графики ω(t) (рисунок 2) и μ(t) (рисунок 3). По графикам хорошо видно, что ω(t) и μ(t) стремятся к равновесным значениям ω0=31.948 и μ0=0.5, ω(t)→ 31.948, μ(t) →0.5, что соответствует вычислениям.
Рисунок 2 – График функции ω(t)
Рисунок 3 – График функции μ(t)
5 Линеаризация и численное решение разомкнутой систем ы
Линеаризуем систему (2) в окрестности точки равновесия. Для этого выведем систему из равновесия, придав u, μ, ω малые приращения ∆u, ∆μ, ∆ω→0. Соответственно придается приращение Z, ∆Z→0.
(3)
Теперь разложим функции Mc (ω) и Mg (ω,μ) в ряды Тейлора по формулам:
Пренебрегая остаточными членами Og (ω,μ) и Oc (ω), получим систему вида:
Или
(4)
Решая систему численно, получаем табличные значения ∆ω(t) и ∆μ(t), по которым строим графики ∆ω(t) (рисунок 4) и ∆μ(t) (рисунок 5).
Рисунок 4 – График ∆ω(t)
Рисунок 5 – График ∆μ(t)
6 Замкнутая систем а
В векторно-матричной форме линейную систему с непрерывным временем можно записать в виде:
, где
 | |
 |  |
 |
А =(5)
С дискретным временем:
Xk +1 = A∆ Xk + B∆ Uk , где
Замкнем систему, положив 
, где k – коэффициент регулятора. Из соотношений (3) получим 
, и тогда с непрерывным временем система примет вид: