Курсовая работа: Численные методы решения типовых математических задач
предыдущей итерации. Так же как и в методе простых итераций строится эквивалентная СЛАУ и за начальное приближение принимается вектор правых частей . Тогда метод Зейделя для известного вектора на k-ой итерации имеет вид:
Из этой системы видно, что 
, где В - нижняя треугольная матрица с диагональными элементами , равными нулю, а С - верхняя треугольная матрица с диагональными элементами, отличными от нуля, α=B+C. Следовательно
При таком способе приведения исходной СЛАУ к эквивалентному виду метод простых итераций носит название метода Якоби.
откуда
Таким образом, метод Зейделя является методом простых итераций с матрицей правых частей α=(E-B)-1C и вектором правых частей (E-B)-1β.
Разрешим систему относительно неизвестных при ненулевых диагональных элементах , aii≠0, i= 1,n (если какой-либо коэффициент на главной диагонали равен нулю, достаточно соответствующее уравнение поменять местами с любым другим уравнением). Получим следующие выражения для компонентов вектора β и матрицы α эквивалентной системы
В качестве нулевого приближения x(0) вектора неизвестных примем вектор правых частей x(0) =β. Тогда метод простых итераций примет вид:
Из (1.19) видно преимущество итерационных методов по сравнению, например, с рассмотренным выше методом Гаусса. В вычислительном процессе участвуют только произведения матрицы на вектор, что позволяет работать только с ненулевыми элементами матрицы, значительно упрощая процесс хранения и обработки матриц.
Имеет место следующее достаточное условие сходимости метода простых итераций.
Метод простых итераций (1.19) сходится к единственному решению СЛАУ при любом начальном приближении x(0) , если какая-либо норма матрицы α эквивалентной системы меньше единицы 
Если используется метод Якоби (выражения (1.18) для эквивалентной СЛАУ), то
достаточным условием сходимости является диагональное преобладание матрицы A, т.е.
(для каждой строки матрицы A модули элементов, стоящих на главной диагонали, больше суммы модулей недиагональных элементов). Очевидно, что в этом случае ||α||c меньше единицы и, следовательно, итерационный процесс (1.19) сходится.
Приведем также необходимое и достаточное условие сходимости метода простых итераций. Для сходимости итерационного процесса (1.19) необходимо и достаточно, чтобы спектр матрицы α эквивалентной системы лежал внутри круга с радиусом, равным единице.
При выполнении достаточного условия сходимости оценка погрешности решения на k- ой итерации дается выражением:
Следует подчеркнуть, что это неравенство дает завышенное число итераций k, поэтому редко используется на практике
1.4 Численный метод решения задачи
Разрешим систему относительно неизвестных при ненулевых диагональных элементах , aii≠0, i= 1,n (если какой-либо коэффициент на главной диагонали равен нулю, достаточно соответствующее уравнение поменять местами с любым другим уравнением). Получим следующие выражения для компонентов вектора β и матрицы α эквивалентной системы:
При таком способе приведения исходной СЛАУ к эквивалентному виду метод простых итераций носит название метода Якоби.
В качестве нулевого приближения x(0) вектора неизвестных примем вектор правых частей x(0) =β. Тогда метод простых итераций примет вид:
Из (1.19) видно преимущество итерационных методов по сравнению, например, с рассмотренным выше методом Гаусса. В вычислительном процессе участвуют только произведения матрицы на вектор, что позволяет работать только с ненулевыми элементами матрицы, значительно упрощая процесс хранения и обработки матриц.