Курсовая работа: Численные методы решения типовых математических задач

2

...

y

n

или

Точки с координатами (x_i , y_i ) называются узловыми точками или узлами.

Количество узлов в табличной функции равно N=n+1.

Необходимо найти значение этой функции в промежуточной точке, например, x=D, причем .

Для решения задачи строим интерполяционный многочлен.

2.3 Обзор существующих численных методов решения задачи

Интерполяция по Лагранжу

Интерполяционный многочлен может быть построен при помощи специальных интерполяционных формул Лагранжа, Ньютона, Стерлинга, Бесселя и др.

Интерполяционный многочлен по формуле Лагранжа имеет вид:

Докажем, что многочлен Лагранжа является интерполяционным многочленом, проходящим через все узловые точки, т.е. в узлах интерполирования x_i выполняется условие L_n (x_i ) = y_i . Для этого будем последовательно подставлять значения координат узловых точек таблицы в многочлен (2.1). В результате получим:

если x=x₀ , то L_n (x₀ ) = y₀ ,

если x=x₁ , то L_n (x₁ ) = y₁ ,

……………

если x=x_n , то L_n (x_n ) = y_n .

Это достигнуто за счет того, что в числителе каждой дроби при соответствующем значении у_j , j=0,1,2,…,n отсутствует сомножитель (x-x_i ), в котором i=j, а знаменатель каждой дроби получен заменой переменной х на соответствующее значение х_j .

Таким образом, интерполяционный многочлен Лагранжа приближает заданную табличную функцию, т.е. L_n (x_i ) = y_i и мы можем использовать его в качестве вспомогательной функции для решения задач интерполирования, т.е. .

Чем больше узлов интерполирования на отрезке [x₀ ,x_n ] , тем точнее интерполяционный многочлен приближает заданную табличную функцию, т.е. тем точнее равенство:

Однако с увеличением числа узлов интерполирования возрастает степень интерполяционного многочлена n и в результате значительно возрастает объем вычислительной работы. Поэтому при большом числе узлов необходимо применять ЭВМ. В этом случае удобно находить значения функции в промежуточных точках, не получая многочлен в явном виде.

При решении задачи экстраполирования функции с помощью интерполяционного многочлена вычисление значения функции за пределами отрезка [x₀ ,x_n ] обычно производят не далее, чем на один шаг h, равный наименьшей величине

так как за пределами отрезка [x₀ ,x_n ] погрешности, как правило, увеличиваются.

Интерполяция по Ньютону

Интерполяционный многочлен по формуле Ньютона имеет вид:

(2.2)

где n – степень многочлена,

- разделенные разности 0-го, 1-го, 2-го,…., n-го порядка, соответственно.

Сплайн-интерполяция

Сплайны стали широко использоваться в вычислительной математике сравнительно недавно. В машиностроительном черчении они применяются уже давно, так как сплайны – это лекала или гибкие линейки, деформация которых позволяет провести кривую через заданные точки (x_i , у_i ).