Курсовая работа: Динамические системы в плоской области

можно рассматривать как решения, удовлетворяющие начальным условиям с одинаковыми начальными значениями х₀ и у₀ и различными начальными значениями переменного t.

б) Два решения, удовлетворяющие начальным условиям с одинаковыми начальными значениями переменных х₀ , у₀ и различными начальными значениями t,могут быть получены одно из другого заменой tна с надлежащим выбором постоянной С.

Доказательство. Если решение (1) соответствует начальным значениям t₀ , x₀ , у₀ так, что

(3)

то в силу очевидных равенств

(t₀ —С + С) = (t₀ ) = x₀ ψ (t₀ —С + С) = ψ (t₀ ) = y₀

решение (2) соответствует начальным значениям t₀ —С, х₀ , у₀ , что и доказывает утверждение а).

Далее, рассмотрим наряду с решением (1), соответствующим начальным значениям t₀ , x₀ , у₀ , решение

(4)

соответствующее начальным значениям , x₀ , у₀ , где t₀ . Если в решении

(2)

величину С взять равной t₀ —, то оно, очевидно, будет соответствовать тем же начальным значениям , x₀ , у₀ , что и решение (4). В силу единственности решения, удовлетворяющего данным начальным условиям, отсюда следует

,

что и доказывает утверждение б) леммы.

В дальнейшем, рассматривая наряду с решением (1) решение (2), мы будем часто говорить, что рассматриваются решения, отличающиеся выбором начального значения t. Решение всякой системы двух дифференциальных уравнении, соответствующее любым произвольным начальным значениям t₀ , х₀ , у₀ , очевидно, является функцией t, t₀ , х₀ , у₀ , т. е. записывается в виде

х = Ф(t, t₀ , х₀ , г/о), y= Ψ (t, t₀ , х₀ , у₀ ) (5)

При этом по самому смыслу функций Ф (t, t₀ , х₀ , у₀ ) и Ψ (t, t₀ , x₀ , у₀ ), Ф(t₀ , t₀ , х₀ , у₀ ) = х₀ , Ψ (t₀ , t₀ , х₀ , у₀ )= у₀

Однако в случае системы (1), вследствие автономности этой системы, функции (5) являются по существу не функциями переменных tи t₀ , а функциями разности t—t₀ . Это устанавливается в следующей лемме:

Лемма 3. Решение системы (I) как функции от t и от начальных значений t₀ , x₀ , у₀ ,может быть записано в виде

x = (t—t₀ , х₀ , у₀ ), y= ψ(t—t₀ , х₀ , у₀ ).(6)

Доказательство. Рассмотрим наряду с решением (5) решение

х = Ф(t, 0, х₀ , у₀ ), y =Ψ (t, 0, х₀ , у₀ ),

удовлетворяющие начальным условиям: при t=0, х=х₀ , у=у₀

В силу леммы 1 функции

x = Ф (t — t₀ , 0, х₀ , у₀ ), y =Ψ (t— t₀ ,0, х₀ ,у₀ ) (7)

также являются решением системы (I). Решения (5) и (7) соответствуют одним и тем же начальным значениям t₀ , x₀ , у₀ . Но тогда эти решения совпадают, т. е.

Ф (t ,t₀ , х₀ , у₀ )= Ф (t — t₀ , 0, х₀ , у₀ )

Ψ (t , t₀ , х₀ ,у₀ )= Ψ (t— t₀ ,0, х₀ ,у₀ )

Введение обозначений