Курсовая работа: Динамические системы в плоской области
Доказательство. В силу лемм 1 и 2 всякие два решения, отличающиеся выбором начальных значений t0 (но имеющие одни и те же Начальные значения ), могут быть получены одно из другого заменой tна t+ С. Но если даны два решении
(15)
(16)
причем решение (15) определено на интервале (, Т), а решение (16) — на интервале ( — С, Т — С), то, очевидно, им соответствует одна и та же траектория (так как замена в (15) tчерез t+С является просто заменой обозначении переменного). Лемма доказана.
Теорема 3. Через каждую точку области G проходит одна и только одна траектория динамической системы (1).
Доказательство. Пусть М0 (х0 , у0 ) — произвольная точка области G.
Тогда в силу теоремы 1 (о существовании и единственности решения) при всяком tсуществует решение, соответствующее начальным значениям t0 , x0 ,
Это, очевидно, и означает, что через точку х0 , у0 проходит хотя бы одна траектория L.
Предположим теперь, что через одну и ту же точку М0 (х0 , у0 ) области Gпроходят две различные траектории Lи L*.
Пусть
— решение, соответствующее траектории L*. Это решение, очевидно, непременно должно быть таким, чтобы при некотором значении t = t* мы имели бы
но тогда в силу леммы 2 при надлежащем выборе С мы должны иметь
и, следовательно (см. лемму 6), траектории Lи L* вопреки предположению не могут быть различны. Теорема доказана.
Замечание 1. Из проведенного в теореме рассуждения непосредственно вытекает, что всякие два различных решения, соответствующих одной и той же траектории, получаются друг из друга заменой tна t+С, т. е. отличаются друг от друга только выбором начального значения t0 (см. лемму 2).
Замечание 2. Пусть при каком-либо выборе решения, соответствующего траектории L, точке М0 этой траектории соответствует значение t0 , а точке M1 — значение t0 +. Тогда из замечания 1 следует, что если при некотором другом выборе решения, соответствующего траектории L, точке М0 соответствует значение t*, то значению t* + соответствует точка .
Замечание 3. Если траектория целиком лежит в ограниченной замкнутой области с G, то в силу теоремы 2 соответствующее ей решение определено при всех значениях
t(< t< )
В силу теоремы 3 динамическая система, заданная в области G, определяет некоторое семейство траекторий или, как мы будем говорить, некоторое разбиение области G на траектории.
Мы укажем здесь некоторые основные свойства траекторий. Выше мы уже останавливались на одном частном типе траекторий, именно, на состояниях равновесия.
Как мы видели, х = а, y=bтогда и только тогда является состоянием равновесия, когда выполняются условия Р(а, b) = Q(a, b) = 0.
Предположим теперь, что траектория L, соответствующая решению
не является состоянием равновесия. Во всех точках такой траектории, очевидно, выполняется неравенство
Действительно, если бы в какой-нибудь точке М*(х*, у*) траектории L, соответствующей значению t*, имело место равенство