Курсовая работа: Динамические системы в плоской области

или, зафиксировав какое-нибудь t₀ , можно написать

Таким образом, каждая из функции (t) и (t) принимает одно и то же значение, равное соответственно () и () при всех следующих значениях t

где N может быть любым целым числом, а сколь угодно мало при достаточно большом n. Следовательно, какое бы значение t* мы ни взяли, либо t* =tи тогда , либо t* попадает в некоторый интервал (t₀ +(k-1) ,t₀ +) или

(t₀ —(k-1) ,t₀ -- ) и в силу того, что Q_n сколь угодно мало при достаточно большом n, существуют сколь угодно близкие к t* значения t', при которых

Но тогда в силу непрерывности функций (t), (t) мы, очевидно, также имеем

Это означает, что функции (t), (t)— постоянные, т. е. траектория Lсостояние равновесия, что противоречит условию теоремы.

Очевидно, все точки траектории Lмогут быть получены при изменении tв уравнениях (17) от t₀ до t₀ + ₀ (t₀ tt₀ -₀ ), где t₀ — любое фиксированное число. Так как по самому определению ₀ есть наименьшее число,при котором выполняются равенства(22),то всяким двум значениям и t", t₀ заведомо соответствуют различные точки траектории L. Это и означает, что траектория Lявляется простой замкнутой кривой. В силу леммы 5 эта замкнутая кривая, очевидно, гладкая. Таким образом, лемма доказана.

Решение, в котором функции (t) и (t) — периодические функции t, называется периодическим решением. Наименьшее число ₀ > 0, при котором выполняются равенства (22),— периодом этого решения.

Траектория L, соответствующая периодическому решению, называется замкнутой траекторией. Очевидно, все решения, соответствующие данной замкнутой траектории, являются периодическими решениями с одним и тем же периодом. Всякая траектория, не являющаяся замкнутой траекторий или состоянием равновесия, называется незамкнутой траекторией.

Из леммы 7 следует, что у траекторий системы (I) не может быть «самопересечений», т. е. что всякая часть незамкнутой траектории, соответствующая значениям tв любом конечном сегменте, является простой гладкой дугой.

Таким образом, мы получили следующие основные элементарные сведения о траекториях. Траектория может быть: 1) состоянием равновесия, 2) замкнутой траекторией, 3) незамкнутой (несамопересекающейся) траекторией. Эти сведения являются предварительными, так как возможный характер незамкнутых траекторий остается невыясненным.

6. Сопоставление геометрической интерпретации в пространстве R³ и геометрической интерпретации на фазовой плоскости

Как мы уже указывали, каждому решению системы (I) соответствует в интегральная кривая.

Траектория, очевидно, является проекцией этой интегральной кривой на плоскость (x, у). Из леммы 4 следует, что в траекторию проектируются те и только те интегральные кривые пространства , которые получаются из одной такой кривой (и, следовательно, друг из друга) сдвигом на произвольный отрезок вдоль оси t. Таким образом, устанавливается естественное соответствие между траекториями динамической системы на фазовой плоскости и интегральными кривыми в пространстве . При этом могут представиться следующие случаи в зависимости от характера траектории L:

Lесть состояние равновесия М (а, Ь). Соответствующая интегральная кривая в является прямой х = а, у = b, параллельной оси tи проходящей через точку М. При сдвиге вдоль оси tэта прямая переходит сама в себя.

2) Lесть замкнутая траектория, соответствующая решению с периодом ₀ . Соответствующие интегральные кривые имеют характер «винтовых линий» с шагом ₀ и проектируются в траекторию L. При сдвиге вдоль оси tна отрезок С каждая интегральная кривая переходит в другую кривую, если С не кратно ₀ , и сама в себя, если С кратно ₀ (рис. 3).

3) L— незамкнутая траектория. Каждая интегральная кривая, соответствующая траектории L, при любом сдвиге вдоль оси t, отличном от нулевого, переходит в другую интегральную кривую (рис. 4).

Рис. 3. Рис. 4.

Подчеркнем следующие элементарные факты. Точка, двигаясь по траектории, отличной от состояния равновесия (т. е. «изображающая точка» с координатами х = (t), y= (t) ), не может стремиться к точке какой-либо отличной от нее траектории при t, стремящемся к конечному значению. Действительно, в противном случае , интегральные кривые в пространстве (x, у, t) пересекались бы, что невозможно в силу теоремы 1. В частности, точка, двигаясь по траектории, отличной от состояния равновесия, может стремиться к состоянию равновесия либо при t, либо при

7. Направление на траектории. Изменение параметризации

Пусть L— траектория системы (I) и

х = (t), y = (t)

— какое-нибудь соответствующее ей решение.

Мы введем на траектории Lопределенное направление в качестве положительного. Именно, будем считать положительным направлением на Lнаправление в сторону возрастания t. При таком определении можно сказать, что положительное направление в каждой точке траектории Lсовпадает с направлением вектора, заданного в этой точке системой (I).