Курсовая работа: Динамические системы в плоской области
т. е. одновременно
и это, очевидно, означало бы, что точка х*, у* является состоянием равновесия. Но состояние равновесия само является отдельной траекторией, и в силу теоремы 3 точка М* (х*, у*) не может принадлежать отличной от состояния равновесия траектории L.
Рассмотрим вопрос о том, могут ли быть у траектории, отличной от состояния равновесия, «самопересечения», т. е. возможно ли, чтобы существовали значения t1 и t2 , t1 
t2 такие, чтобы соответствующие им точки траектории совпадали.
Ответ на этот вопрос дается следующей леммой:
Лемма 7. Пусть траектория L, соответствующая решению
(
< t< T),(17)
отлична от состояния равновесия, и пусть существуют значения t, t1 и t2 ( < t1 < t2 < T) такие, что
Тогда решение (17) определено при всех значениях
t (т. е. 
)
функции 
, 
являются периодическими функциями t, а соответствующая траектория—простой гладкой замкнутой кривой.
Доказательство. Пусть
(18)
Рассмотрим наряду с решением (17) решение
(19)
определенное на интервале
( — С, Т — С)
где С = t2 — t1 (см. лемму 1).
Из равенств (18) следует, что решения (17) и (19) удовлетворяют одним и тем же начальным условиям (при t= t1 , x = х0 , у =у0 ). Но тогда эти решения совпадают, а следовательно, совпадают интервалы значений t, на которых они определены. Но интервалы (, Т) и ( — С, Т — С) при С0 могут совпадать лишь в том случае, когда =-
, Т =+.
Таким образом, мы показали, что решения (17) и (19) определены для всех t(
< t< 
). Далее, из совпадения решений (17) и (19) следует, что при всех t (— < t< )
(20)
где C = t2 — t1 >0. Это, очевидно, означает, что функции 
(t) и (t)— периодические функции с общим периодом 0 = t2 — t1 . Пусть
)(21)
— наименьшее положительное число, при котором имеют место равенства
(22)
Такое число непременно существует. Действительно, в противном случае можно было бы указать последовательность положительных чисел {
} таких, что
и 
Очевидно, тогда при любом nи любом целом |k|