Курсовая работа: Дослідження функцій гіпергеометричного рівняння
=
{(
-
)
+
+
} zk =
= { - -
( +k)+ 
( +k)} zk =0.
( - )(1-z)F+(
- )F ( -1)-( - )F( -1)=
=
{( - ) -( - )
+( - )
-( -
)
} zk =
=
{(
-
)(
+k-1)(
+k-1)-(
-
)( +k-1)k+(
- )( -1)( +k-1)-
(
- )( +k-1)( -1)}zk =0.
Крім розповсюджених рекурентних співвідношень існують аналогічні співвідношення, що зв'язують гіпергеометричну функцію виду F( , , ,z) з який – або парою родинних функцій виду F( +1, +m, +n,z), де l,m,n – довільні цілі числа.
Найпростішими рекурентними співвідношеннями цього типу є
F( , , ,z)-F( , , -1,z)= 
F( +1, +1, +1,z) (2.12)
F( , +1, ,z)- F( , , ,z)= 
F( +1, +1, +1,z) (2.13)
F( , +1, +1,z)- F( , , ,z)= 
F( +1, +1, +2,z)(2.14)
F( -1, +1, ,z)- F( , , ,z)= 
F( , +1, +1,z) (2.15)
До даного класу ставляться також рівність (1.6)
Формули (2.12) і (2.15) доводяться підстановкою в них ряду (1.1) або виводяться на основі вже відомих рекурентних співвідношень для суміжних функцій.
1.3 Гіпергеометричне рівняння
Помітимо, що гіпергеометрична функція u= F( , , ,z) є інтегралом лінійного диференціального рівняння
z(1-z) 
+[ -(
+ +1)] 
- u=0 (2.16)
регулярним в околиці крапки z=0.
Рівняння (2.16) називається гіпергеометричним і включає, як окремі випадки, багато диференціальних рівнянь, що зустрічаються в додатках.
Якщо привести це рівняння до стандартної форми, розділивши його на коефіцієнт при другій похідній, то коефіцієнти отриманого рівняння будуть регулярними функціями змінного z в області 0<
<1 <1, наявними при z=0 полюс першого порядку або звичайну крапку, залежно від значень параметрів , , .
Із загальної теорії лінійних диференціальних рівнянь треба, що в такому випадку розглянуте рівняння повинне мати приватне рішення виду
u=zs 
zk (2.17)
де s – належне обране число, 
0, статечної ряд сходиться при <1
u= zk+s
= (k+s)zk+s-1
= (k+s)(k+s-1)zk+s-2
Підставляючи (2.17) у рівняння (2.16) знаходимо
z(1-z) ( zk+s 
+[ -( + +1)z] ( zk+s 
- zk+s =0,