Курсовая работа: Дослідження збіжності рішень для диференціальних рівнянь у частинних похідних, отриманих методом сіток

,

і нехай - розв’язок рівняння (6):

. (7)

яке задовольняє граничним умовам, що містять помилку:

, , .

Нас цікавить, як зміниться похибка при необмеженому зростанні номера j. Віднімаючи з рівняння (7) рівняння (6), для похибки одержимо скінчено-різницеве рівняння.

=0. (8)

На границі Г області маємо:

(8а)

Частковий розв’язок рівняння (8) будемо шукати у вигляді

, (9)

де числа і p (р>0) підберемо так, щоб вираз (9) задовольняв рівнянню (8) і однорідним крайовим умовам.

.

Користуючись ними маємо:

,

звідки випливає, що pl=m і (m=1,2,3……).

Отже,

.

Підставляючи цей вираз в рівняння (8), будемо мати:

(10)

Після перетворень рівняння (10) набуде вигляду:

.

Звідси

. (11)

Зауважимо, що не залежить від точки (). Таким чином, для однорідного рівняння (8) одержуємо лінійно незалежні розв’язки вигляду:

(m=1,2,…....,n-1),

причому кожен розв’язок задовольняє однорідним крайовим умовам.

Лінійна комбінація цих розв’язків

(12)