Курсовая работа: Дослідження збіжності рішень для диференціальних рівнянь у частинних похідних, отриманих методом сіток

Тому в реальних розрахунках використовується правило Рунге оцінки похибки, аналогічне тому, яке використовується в чисельному розв’язанні задачі Коші і розв’язанні звичайних диференціальних рівнянь. Робиться два варіанти розрахунку з кроком h та ; тоді похибка має вигляд

max max +О(h2)

і головна частина похибки визначається на вузлах,що збігаються.

Потрібно зазначити,що рівномірними прямокутними сітками найбільш зручно користуватиcя при розв’язанні задач у прямокутних областях. Якщо область має форму паралелограма(скошена система),то користуються координатами,осі яких паралельні сторонам цього паралелограма. Декартові прямокутні координати пов’язані з косокутними координатами співвідношеннями , де а - кут між . У диференціальних виразах похідні за х та у замінюються похідними за . Усі похідні апроксимуються за допомогою центральних різниць. Якщо область має форму кола, зручно користуватись полярними координатами

Наведемо деякі загальні зауваження. При чисельному розв’язанні крайових задач для диференціальних рівнянь в частинних похідних методом сіток можуть бути використані тільки різницеві схеми, які збігаються, оскільки в цьому разі можна розраховувати на отримання наближеного розв’язку задачі, достатньо близького до точного. Але й різницеві схеми, що збігаються не завжди можуть бути використані при практичному розв’язанні задачі, оскільки при використанні методу сіток при обчисленні значень граничних функцій та правої частини виникають похибки. Щоб ці похибки не спотворили істинного розв’язання різницевої схеми, остання повинна бути стійкою за граничними умовами і за правою частиною. При використанні нестійкої різницевої схеми спотворення істинного розв’язку тим сильніше, чим дрібніша сітка; при використанні ж великої сітки не можна розраховувати на те, що розв’язок різницевої схеми буде близький до точного розв’язку крайової задачі для диференціального рівняння в силу поганої різницевої апроксимації рівняння.

Крім того, під час розв’язання різницевої задачі в процесі розрахунків нам обов’язково доведеться округляти значення розв’язків у вузлах сітки. Ці помилки можуть значно спотворити картину розв’язання, тому необхідною вимогою є стійкість різницевої схеми що до помилок, які виникають в результаті округлення значень розв’язку у вузлах сітки. Оскільки помилки округлення значень розв’язку в вузлах сітки, принаймні, в найпростіших випадках можна компенсувати зміною правої частини різницевого рівняння, то особливо суттєвою є вимога до стійкості правої частини. Необхідно взяти до уваги й числовий алгоритм, який використовується для розв’язання різницевої схеми. Навіть у випадку, коли різницева схема стійка за граничними умовами і за правою частиною, при невдалому виборі алгоритму для розрахунку розв’язання цієї різницевої схеми може відбутися сильне накопичення обчислювальної похибки, у цьому разі нестійким буде сам процес розрахунку. Нестійкі алгоритми розрахунку практично непридатні у випадку дрібної сітки.

Вибір оптимального кроку

Припустимо, що межа абсолютної погрішності при обчисленні функції в кожній точці задовольняє нерівність

(17)

Хай в деякій околиці крапки похідні, через які виражаються залишкові члени, безперервні і задовольняють нерівностям

(18)

де - деякі числа. Тоді повна погрішність (без урахування погрішностей округлення) не перевершує відповідно величин

Мінімізація по цих величин приводить до наступних значень:

(19)

при цьому

(19а)

Якщо при вибраному для якої-небудь значенні відрізок не виходить за межі околиці точки, в якій виконується відповідна нерівність (17), то знайдене є оптимальним і повна погрішність чисельного диференціювання оцінюється відповідною величиною (19).

Дослідження точності

Дослідження точності одержаних виразів при чисельних розрахунках зручно робити за допомогою апостеріорної оцінки, по швидкості убивання членів відповідного ряду Тейлора. Якщо крок сітки достатньо малий, то погрішність близька до першого відкинутого члена.

Таким чином порядок точності результату по відношенню до кроку сітку рівний числу залишених в ній членів, або іншими словами, він рівний числу вузлів інтерполяції мінус порядок похідної. Тому мінімальне число вузлів необхідне для обчислення m-ой похідної, рівне m+1; воно забезпечує перший порядок точності.

Ці висновки відповідають принципу: при почленном диференціюванні ряду швидкість його збіжності зменшується.

Якщо врахувати погіршення збіжності ряду при диференціюванні, то можна зробити висновок: навіть якщо функція задана добре складеною таблицею на досить докладній сітці, то практично чисельним диференціюванням можна визначити першу і другу похідні, а третиною і четвертую – лише задовільно. Більш високі похідні рідко вдається обчислити із задовільною точністю.

Структура похибки розв'язку задачі

Побудувавши математичну модель, намагаються знайти її розв'язок. Для складних прикладних задач, як правило, не існує точного розв'язку у вигляді явних формул або скінченої послідовності арифметичних операцій, кожна з яких виконується точно. Тоді вдаються до чисельних методів — могутнього математичного засобу розв'язування задач. Найпростіші чисельні методи виникли і широко використовувалися задовго до появи ЕОМ. Але є багато прикладних задач, для яких знайти розв'язок без застосування ЕОМ практично неможливо. Сучасні швидкодіючі ЕОМ стали стимулом для розробки нових чисельних методів.

Застосовувати чисельні методи для розв'язування прикладних задач на базі ЕОМ треба обережно, оскільки точність знайденого розв'язку залежить від багатьох факторів. При цьому слід уміти оцінити похибку обчисленого розв'язку.

Похибка розв'язку задачі складається з похибки математичної моделі, неусувної похибки, похибки методу і обчислювальної похибки.

Похибка математичної моделі пов'язана з тим, що модель описує явище наближено, з припущеннями і спрощеннями. Тому треба мати уявлення про точність кінцевого результату, щоб спростити побудову математичної моделі.

Неусувна похибка зумовлена похибками у вхідних даних задачі. Вона залежить від методу розв'язування задачі. Але, щоб правильно обрати метод і визначити точність обчислень, важливо знати межі неусувної похибки.