Курсовая работа: Дослідження збіжності рішень для диференціальних рівнянь у частинних похідних, отриманих методом сіток

Для стійкості розглянутої скінчено-різницевої схеми (6) необхідно, щоб при будь-яких значеннях постійних функція , обумовлена рівністю (12), залишалася обмеженою при .

Для цього досить, щоб для всіх m була виконана рівність:

.

Звідси

і (m=1,2,…...,n-1).

Остання нерівність буде виконана, якщо виконується умова:

. (13)

Отримані нерівності дають достатні умови стійкості розглянутої скінчено-різницевої схеми для змішаної задачі у випадку рівняння теплопровідності (параболічного типу).

Гіперболічний тип

Як приклад рівняння гіперболічного типу розглянемо рівняння коливань однорідної обмеженої струни:

,

де u=u(x,t) – зсув струни, t – час, - координата довільної точки струни.

Для простоти покладемо, а=1.

Початкові і крайові умови:

.

и.

Схема стійка, якщо виконано умову Куранта k< h. Це означає, що малі похибки, що виникають, наприклад, при обчисленні розв’язку на першому шарі, не будуть необмежено зростати при переході до кожного нового тимчасового шару. При виконанні умов Куранта схема має рівномірну збіжність, тобто при h® 0 розв’язок різницевої задачі рівномірно прагне до розв’язку вихідної змішаної задачі.

Недолік схеми в тім, що як тільки обрана величина кроку сітки h у напрямку x, з'являються обмеження на величину кроку за змінною t. Якщо необхідно зробити обчислення для великого значення величини T, то може знадобитися велика кількість кроків по змінній t. Зазначений недолік характерний для всіх явних різницевих схем.

Еліптичний тип

Як приклад рівняння еліптичного типу розглянемо задачу Дирихле (перша крайова задача для рівняння Лапласа ):

,

Крайова умова:

на колі (Г) виконується .

Перепишемо систему рівнянь у вигляді, зручному для застосування методу простої ітерації:

для внутрішніх вузлів

ui,k= - (14)

для граничных вузлів

(15)

Тут для внутрішніх вузлів використовувався п’ятиточковий шаблон, зображений. Припустимо, що gi,k<0. Розв’яжемо систему рівнянь відносно ui,k методом простої ітерації згідно з ітераційним процесом: