Курсовая работа: Электрон в слое
¨ Напишем систему из 4 уравнений, удовлетворение которых эквивалентно удовлетворению функциями граничным условиям.
¨ В этой системе из 4 уравнений будут фигурировать неизвестные коэффициенты A,C,D и F. Мы составим линейную однородную систему относительно них.
¨ Ясно, что существование нетривиальных решений допускается только в случае когда детерминант системы равен нулю. Как выяснится чуть позже, из этого весьма полезного факта мы извлечём уравнение, корнями которого будут возможные уровни энергии.
Приступим к осуществлению первого пункта, т.е. запишем условия сшивания волновых функций :
YI (x=-a) = YII (x=-a)
YII (x=a) = YIII (x=a)
YI ¢(x=-a)/m = YII ¢(x=-a)/m0
YII ¢(x=a)/m0 = YIII ¢(x=a)/m
А в наших определениях этих функций это выглядит так :
A×exp(-n×a) = C×exp(-i ×k×a) + D×exp(i ×k×a)
m- 1 ×A× n×exp(-n×a) = i ×k×/m0 ×(C×exp(-i ×k×a) - D×exp(i ×k×a))
C×exp(i ×k×a) + D×exp(-i ×k×a) = F×exp(-n×a)
i ×k×/m0 ×(C×exp(i ×k×a) - D×exp(-i ×k×a)) = - n/m×F×exp(-n×a).
Теперь составим определитель :
|exp(-n×a) -exp(-i ×k×a) -exp(i ×k×a) 0 |
|m- 1 ×n×exp(-n×a) -1/m0 ×i ×k×exp(-i ×k×a) 1/m0 ×i ×k×exp(i ×k×a) 0 |
|0 exp(i ×k×a) exp(-i ×k×a) -exp(-n×a) |
|0 1/m0 ×i ×k×exp(i ×k×a) -1/m0 ×i ×k×exp(-i ×k×a) 1/m×n×exp(-n×a)|
Если теперь раскрыть этот определитель по обычным правилам и приравнять его к нулю, то мы получим следующее уравнение для уровней энергии:
((n/m)2 - (k/m0 )2 )×Sin(2×k×a) + 2×k×n/(m×m0 )×Cos(2×k×a) = 0.
Это уравнение решается численным методом, а именно, методом Ньютона.
Найдём неизвестные коэффициенты A, C, D, F для более полного описания волновой функции. Для этого воспользуемся некоторыми соотношениями, которые непосредственно вытекают из условий сшивания и условия нормировки.
C = F×exp(-n×a)×{exp(i ×k×a) + exp(-3×i ×k×a) ×( i ×k/m0 - n/m)/(n/m + i ×k/m0 )}
D = C×exp(-2×i ×k×a)×( i ×k/m0 - n/m)/(n/m + i ×k/m0 )
A = exp(n×a)×(C×exp(-i ×k×a) + D×exp(i ×k×a)) .
Поскольку A, C и D линейно зависят от F, то целесообразно ввести обозначения :
A = RA ×F
C = RC ×F
D = RD ×F.