Курсовая работа: Электрон в слое

Тогда Y(x+2ma) = Y(x)×r^m , где m=0, ±1, ±2,... (2)

Оказывается, что достаточным для определения дискретного энергетического спектра (рассматривается только случай когда E<U₀ ) и волновой функции является рассмотрение областей I, II, III. Действительно, пользуясь соотношением (2), мы определим волновую функцию на всей действительной оси.

Рассмотрим область I:

Уравнение Шредингера для нее записывается в виде:

¶² Y_I /¶x² + 2m₂ /ћ² ×(E-U₀ )Y_I = 0 , 0 > x > -a

его решение выглядит просто:

Y_I (x) = A×exp(n×x) + B×exp(-n×x).

Где n = (2m₂ (U₀ -E) /ћ² )^1/2

Рассмотрим область II:

Уравнение Шредингера для нее записывается в виде:

¶² Y_II /¶x² + 2m₁ /ћ² ×EY_II = 0 , a³x³ 0

его решение выглядит просто:

Y_II (x) = C×exp(i ×p×x) + D×exp(-i ×p×x).

Где p = (2m₁ E/ћ² )^1/2

Рассмотрим область III:

¶² Y_III /¶x² + 2m₂ /ћ² ×(E - U₀ )Y_III = 0 , 2a > x > a

его решение выглядит просто:

Y_III (x) = r (A×exp(n×x) + B×exp(-n×x)).

Запишем граничные условия:

Y_I (x=0) = Y_II (x=0)

Y_II (x=a) = Y_III (x=a)

Y_I ¢(x=0)/m = Y_II ¢(x=0)/m₀

Y_II ¢(x=a)/m₀ = Y_III ¢(x=a)/m

Подставляя волновые функции в эту систему уравнений, мы получим некоторые связи между коэффициентами A, B, C, D:

A+B=C+D

C exp(i p a)+D exp(-i p a) = exp(i 2 a k) (A exp(n a)+B exp(-n a))

(A-B) n/m₂ = (C-D) i p / m₁

(C exp(i p a)-D exp(-i p a)) i p / m₁ = exp(i 2 a k) n/m₂ (A exp(n a)-B exp(-n a))

Следуя приведённым выше соображениям, мы составим определитель :