Курсовая работа: Элементы теории множеств

…

Построим число a из пронумерованных чисел согласно правилам:

Из первого числа возьмем первую цифру после запятой, из второго числа – вторую, из третьего – третью и так далее.

Если текущая цифра равна единице, то заменим ее на двойку. В противном случае цифру заменим на единицу.

В результате получим: a = 0.122…

a  [0;1] и числу a соответствует nN.

Это противоречит тому, что, когда мы изменили a, мы изменили цифру, стоящую на n-ном десятичном месте. Следовательно, a не может стоять на n-ном месте. Следовательно, мы пришли к противоречию и, значит, мощность множества действительных чисел несчетна.

Мощность множества всех действительных чисел (или, что то же, множества всех точек числовой оси) обозначается символом c (“континуум”). Поскольку множество всех действительных чисел несчётно, то א0 < c.

Континуум – не самая большая из бесконечных мощностей. Так, мощность множества всех подмножеств точек числовой оси больше, чем мощность самого множества всех точек оси. Она обозначается 2c и называется гиперконтинуумом.

Глава 4. Аксиоматика теории множеств

4.1. Аксиомы теории множеств

Современная теория множеств строится на системе аксиом — утверждений, принимаемых без доказательства, из которых выводятся все теоремы и утверждения теории множеств.

Система аксиом Цермело — Френкеля (ZF) является стандартной системой аксиом для теории множеств. Эта и подобные ей системы аксиом любопытны потому, что любая математическая теория может быть «переведена» на язык теории множеств таким образом, что теоремы этой теории станут теоремами о множествах, доказуемыми из аксиом ZF.

1. Аксиома объемности. Если два множества имеют одни и те же элементы, они тождественны.

"A, B: A=B Û"c, cÎAÛ cÎB.

2. Аксиома пустого множества. Существует пустое множество , которое не содержит элементов.

$: "a, aÏ.

3. Аксиома пары. Для любых множеств A и B существует множество C такое, что A и B являются его единственными элементами. Множество C обозначается {A, B} и называется неупорядоченной парой A и B. Если A = B, то C состоит из одного элемента.

"A, "B, $C: "D, DÍCÛ(D=A Ú D=B).

4. Аксиома объединения. Для любого множества A существует множество B=a1Èa2È…Èan – объединение всех элементов множества A, состоящее из тех и только тех элементов, которые содержатся в элементах множества А.

"A, $B: "C, CÍB Û$D, (CÍD Ù DÍA).

5. Аксиома бесконечности. Существует множество, которое содержит ∅ в качестве своего элемента, и такое, что если а есть элемент этого множества, тогда последовательность aÈ{a} есть также элемент этого множества.

$w: ÎwÙ"x, xÎwÞ {x,{x}}Îw.

6. Аксиома регулярности. Если A – непустое множество, тогда имеется подмножество В множества A, такое, что не имеется множеств, которые принадлежат обоим множествам А и В.

7. Аксиома выделения. Любому множеству A и свойству j отвечает множество B, элементами которого являются те и только те элементы A, которые обладают свойством j.

"A $B: "c, cÎB Û (cÎA Ùj(c)).

8. Аксиома основания. Каждое непустое множество S содержит подмножество A такое, что SÇA=.

"S, S¹ Þ$A, AÍS Ù AÇS=.

9. Аксиома выбора. Для любого семейства попарно непересекающихся непустых множеств существует множество C такое, что, каково бы ни было множество X данного семейства, множество состоит из одного элемента.

Приведенный список аксиом не является каким-то каноническим. Возможны другие перечни и другие аксиомы.