Курсовая работа: Элементы теории множеств

Теорема (необходимое и достаточное условие счетности множества). Для того чтобы множество Х было счётным необходимо и достаточно, чтобы его можно было представить в форме последовательности:

Х={x, x, x, …, x, …} (*).

Доказательство необходимости. Пусть множество Х счетное, то из определения счётного множества следует существование взаимно однозначного соответствия j между множеством Х и множеством натуральных чисел N. Достаточно обозначить через х, тот из элементов множества Х, который в соответствии с j отвечает числу n,чтобы получить представление множества Х в форме (*).

Доказательство достаточности. Если множество Х представлено в форме (*), то достаточно каждому его элементу х, соотнести индекс n этого элемента, чтобы получить взаимно однозначного соответствия j между множеством Х и множеством натуральных чисел N, так что из определения счётного множества следует, что множество Х счётное.

Замечание. Все счетные множества эквивалентны между собой.

Свойства счетных множеств:

Всякое подмножество счетного множества конечно либо счетно.

Объединение конечного либо счетного множества счетных множеств конечно либо счетно.

Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.

Если к бесконечному множеству А присоединить конечное либо счетное множество В, то от этого мощность множества не изменится: АВ ~ А.

3.5. Примеры счетных множеств

Множество целых чисел Z является счетным (Z ~ N).

Доказательство. Пронумеруем числа из Z:

N	1	2	3	4	…
Z	0	-1	1	2	…

Рациональные числа R образуют счётное множество.

Доказательство.

Любое рациональное число можно представить в виде : , mZ, nN.

Введем понятие высоты h рационального числа: h = |m| + n.

Каждой высоте соответствует конечное число рациональных чисел:

h = 1: .

h = 2: .

h = 3: .

h = 4 …

Приписывая последовательно этим рациональным числам номера 1, 2, 3… мы пронумеруем все рациональные числа. Следовательно, множество рациональных чисел счетно согласно определению.

3.6. Несчетные множества. Мощность континуума

Теорема. Мощность действительных чисел отрезка [0;1] больше чем счетное.

Доказательство (от противного).

Предположим, мощность отрезка [0;1] счетна. Т.е. можно установить взаимнооднозначное соответствие:

1 ~ 0.3751…

2 ~ 0.2151…