Курсовая работа: Элементы теории множеств

Множество N удовлетворяет аксиомам Пеано:

1N.

n, nN Þ n’N.

nN Þ n’1.

nN, mN, n’=m’ Þ n=m.

.

Где n’ = n+1.

Данное множество – множество натуральных чисел N = {1, 2, 3, …}.

Замечание. Множество ={0, 1, 2, 3…} называют расширением натурального множества.

Стандартные обозначения некоторых множеств.

N – множество всех натуральных чисел.

Z – множество всех целых чисел.

Z+ – множество целых неотрицательных чисел.

Z– – множество целых неположительных чисел.

Q – множество всех рациональных чисел.

R – множество всех действительных чисел.

R+ – множество неотрицательных действительных чисел.

R– – множество неположительных действительных чисел.

3.3. Конечные и бесконечные множества

Конечное множество - множество, состоящее из конечного числа элементов.

Пример. A = {1, 2, 3, 4, 5}.

Основной характеристикой конечного множества является число его элементов. Теория конечных множеств изучает правила: как, зная количество элементов некоторых множеств, вычислить количество элементов других множеств, которые составлены из первых с помощью некоторых операций.

Бесконечное множество - непустое множество, не являющееся конечным.

Пример. Множество натуральных чисел является бесконечным.

3.4. Счетные множества и их свойства

Определение взаимнооднозначного соответствия. Пусть А и В два множества. Правило j которое каждому элементу а множества А соотносит один и только один элемент b множества В, причем каждый элемент bВ оказывается соотнесенным одному и только одному аА, называется взаимнооднозначным соответствием между множеством А и множеством В.

Определение эквивалентности множеств. Если между множеством А и множеством В можно установить взаимно однозначное соответствие, то говорят, что эти множества эквивалентны или, что они имеют одинаковую мощность, и обозначают этот факт следующим образом: А ~ В.

Определение счетного множества. Пусть N множество всех натуральных чисел N={1, 2, 3, . . .}, тогда всякое множество А эквивалентное множеству N будет называться исчислимым, или счётным множеством.

Пример. А={1, 4, 9, 16, . . . ,n, . . .}; B={3, 6, 9, 12, . . . ,3n, . . . }.