Курсовая работа: Генерация матриц

(1.3)

Для обозначения произведения матрицы на число используется запись C=λA или C=Aλ. Операция составления произведения матрицы на число называется умножением матрицы на это число.

Из формулы (1.3) видно, что умножение матрицы на число обладает следующими свойствами:

1) сочетательным свойством относительно числового множителя: (λμ) A = λ(μA);

2) распределительным свойством относительно суммы матриц: λ (A+B) = λA + λB;

3) распределительным свойством относительно суммы чисел: (λ+μ) A = λA + μA.

Замечание. Разностью двух матриц A и B одинаковых порядков m и n естественно назвать такую матрицу C тех же порядков m и n , которая в сумме с матрицей B даёт матрицу A. Для обозначения разности двух матриц используется естественная запись: C = A – B.

Очень легко убедиться, что разность Cдвух матриц A и B может быть получена по правилу C = A + (– 1) B.

Перемножение матриц .Произведением матрицы , имеющей порядки, соответственно равные m и n , на матрицу , имеющую порядки, соответственно равные m и p ,называется матрица ,имеющая порядки, соответственно равные т и р ,и элементы c_{i j ,} определяемые формулой

.(1.4)

Для обозначения произведения матрицы A на матрицу B используют запись . Операция составления произведения матрицы Aна матрицу Bназывается перемножением этих матриц.

Из сформулированного выше определения вытекает, что матрицу А можно умножить не на всякую матрицу B:необходимо, чтобы число столбцов матрицы Aбыло равно числу строк матрицы B.

В частности, оба произведения и можно определить лишь в том случае, когда число столбцов Aсовпадает с числом строк B, а число строк A совпадает с числом столбцов B. При этом обе матрицы и будут квадратными, но порядки их будут различными. Для того чтобы оба произведения и не только были определены, но и имели одинаковый порядок, необходимо и достаточно, чтобы обе матрицы A и Bбыли квадратными матрицами одного и того же порядка.

Формула (1.4) представляет собой правило составления элементов матрицы C,являющейся произведением матрицы A на матрицу B. Это правило можно сформулировать и словесно: элемент c_ij стоящий на пересечении i ‑й строки и j ‑го столбца матрицы C = , равен сумме попарных произведений соответствующих элементов i ‑й строки матрицы A и j ‑го столбца матрицы B .

В качестве примера применения указанного правила приведем формулу перемножения квадратных матриц второго порядка

.

Из формулы (1.4) вытекают следующие свойства произведения матрицы Aна матрицу B:

1) сочетательное свойство: (AB) C = A(BC);

2) распределительное относительно суммы матриц свойство: (A+B) C=AC+BCили A (B+C)=AB+AC.

Распределительное свойство сразу вытекает из формул (1.4) и (1.2), а для доказательства сочетательного свойства достаточно заметить, что если , , ,то элемент матрицы (AB) Cв силу (1.4) равен , а элемент матрицы A(BC) равен , но тогда равенство = вытекает из возможности изменения порядка суммирования относительноj и k .

Вопрос о перестановочном свойстве произведения матрицы A на матрицу Bимеет смысл ставить лишь для квадратных матриц A и Bодинакового порядка (ибо, как указывалось выше, только для таких матриц A и Bоба произведения ABи BA определены и являются матрицами одинаковых порядков). Элементарные примеры показывают, что произведение двух квадратных матриц одинакового порядка не обладает перестановочным свойством. В самом деле, если положить , , то , а .

Здесь видны важные частные случаи, в которых справедливо перестановочное свойство. Две матрицы, для произведения которых справедливо перестановочное свойство, называются коммутирующими .

Среди квадратных матриц выделим класс так называемых диагональных матриц, у каждой из которых элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю. Каждая диагональная матрица порядка n имеет вид

,

где – какие угодно числа. Если все эти числа равны между собой, т.е. ,то для любой квадратной матрицы Aпорядка n справедливо равенство AD=DA. Проверим это, обозначим символами иэлементы, стоящие на пересечении i ‑й строки и j ‑го столбца матриц ADи DAсоответственно. Тогда из равенства (1.4) и из вида матрицы Dполучим, что

, ,(1.6)

т.е. = .

Среди всех диагональных матриц (1.5) с совпадающими элементами особо важную роль играют две матрицы. Первая из этих матриц получается при d =l, называется единичной матрицей n ‑го порядка и обозначается символом E. Вторая матрица получается при d = 0,называется нулевой матрицей n ‑го порядка и обозначается символом O. Таким образом,

, .