Курсовая работа: Генерация матриц

Формула (1.10) представляет собой правило составления определителя второго порядка по элементам соответствующей ему матрицы. Словесная формулировка этого правила такова: определитель второго порядка, соответствующий матрице (1.9), равен разности произведения элементов, стоящих на главной диагонали этой матрицы, и произведения элементов, стоящих на побочной ее диагонали.

Перейдем теперь к выяснению понятия определителя любого порядка n , где . Понятие такого определителя выводится индуктивно, считая, что понятие определителя порядка n ‑1 уже введено, соответствующего произвольной квадратной матрице порядка n ‑1.

Договоримся называть минором любого элемента матрицы n ‑го порядка (1.8) определитель порядка n ‑1, соответствующий той матрице, которая получается из матрицы (1.8) в результате вычеркивания i ‑й строки и j ‑го столбца (той строки и того столбца, на пересечении которых стоит элемент ). Минор элемента будем обозначать символом. В этом обозначении верхний индекс обозначает номер строки, нижний – номер столбца, а черта над M означает, что указанные строка и столбец вычеркиваются.

Определителем порядка n , соответствующим матрице (1.8), назовем число , равное и обозначаемое символом

. (1.11)

Итак, по определению

. (1.12)

Формула (1.12) представляет собой правило составления определителя порядка n по элементам первой строки соответствующей ему матрицы и по минорам элементов первой строки, являющимся определителями порядка n ‑1.

Если n = 2, топравило (1.12) в точности совпадает с правилом (1.10), ибо в этом случае миноры элементов первой строки имеют вид: , .

Естественно возникает вопрос, нельзя ли использовать для получения величины определителя (1.11) элементы и отвечающие им миноры не первой, а произвольной i ‑й строки матрицы (1.8). Ответ на этот вопрос дает следующая основная теорема.

Теорема 1.1. Каков бы ни был номер строки i (i = 1,2… n ), для определителя n ‑го порядка ( 1.11) справедлива формула

, (1.13)

называемая разложением этого определителя по i ‑й строке.

В этой формуле показатель степени, в которую возводится число (–1), равен сумме номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент a_{i j} .

Доказательство теоремы 1.1. Формулу (1.13) нужно доказать лишь для номеров i = 2, 3,…, n . При n = 2 (т.е. для определителя второго порядка) эту формулу нужно доказать лишь для номера i =2, т.е. при n = 2 нужно доказать лишь формулу

Справедливость этой последней формулы сразу вытекает из выражений для миноров матрицы (1.9) в силу которых правая часть этой формулы совпадает с правой частью (1.10). Итак, при n = 2 теорема доказана.

Доказательство формулы (1.13) для произвольного n > 2 производится по индукции, т.е. для определителя порядка n – 1 справедлива формула вида (1.13) разложения по любой строке, и, опираясь на это, можно убедиться в справедливости формулы (1.13) для определителя порядка n .

При доказательстве понадобится понятие миноров матрицы (1.8) порядка n – 2. Определитель порядка n ‑2, соответствующий той матрице, которая получается из матрицы (1.8) в результате вычеркивания двух строк с номерами и двух столбцов с номерами , называется минором (n ‑2) – го порядка и обозначается символом .

Определитель n ‑го порядка ∆ вводится формулой (1.12), причем в этой формуле каждый минор является определителем порядка n ‑1, для которого по предположению справедлива формула вида (1.13) разложения по любой строке.

Фиксировав любой номер i (i = 2,3… n ),разложим в формуле (1.12) каждый минор по i – й строке основного определителя (1.11) (в самом миноре эта строка будет (i ‑1) – й).

В результате весь определитель ∆ окажется представленным в виде некоторой линейной комбинации миноров (n ‑2) – го порядка с несовпадающими номерами j и k , т.е. в виде

(1.14)

Для вычисления множителей заметим, что минор получается в результате разложения по (i ‑1) – й строке только следующих двух миноров (n – 1) – го порядка, отвечающих элементам первой строки матрицы (1.8): минора и минора (ибо только эти два минора элементов первой строки содержат все столбцы минора ).

В разложениях миноров и по указанной (i – 1) – й строке выписываются только слагаемые, содержащие минор (остальные слагаемые обозначаются многоточием). Учитывая при этом, что элемент a_jk минора стоит на пересечении (i – 1) – й строки и (k – 1) – го столбца этого минора, а элемент a_ij минора стоит на пересечении (i – 1) – й строки и j ‑го столбца этого минора, в итоге получается

(1.15)

(1.16)

Вставляя (1.15)_ и ( 1.16) в правую часть (1.12) и собирая коэффициент при ,мы получим, что множитель в равенстве (1.14) имеет вид

(1 17)