Курсовая работа: Генерация матриц

AE = EA = A, AO = OA = O. (1.7)

Первая из формул (1.7) характеризует особую роль единичной матрицы E, аналогичную той роли, которую играет число 1 при перемножении вещественных чисел. Что же касается особой роли нулевой матрицы O, то ее выявляет не только вторая из формул (1.7), но и элементарно проверяемое равенство

A + O = O + A = A.

Нулевой матрицей называют любую матрицу, все элементы которой равны нулю.

Блочные матрицы . Пусть некоторая матрица при помощи горизонтальных и вертикальных прямых разбита на отдельные прямоугольные клетки, каждая из которых представляет собой матрицу меньших размеров и называется блоком исходной матрицы. Тогда возникает возможность рассмотрения исходной матрицы Aкак некоторой новой (так называемой блочной) матрицы , элементами которой служат указанные блоки. Указанные элементы обозначаются большой латинской буквой, чтобы подчеркнуть, что они являются матрицами, а не числами и (как обычные числовые элементы) снабжены двумя индексами, первый из которых указывает номер «блочной» строки, а второй – номер «блочного» столбца.

Например, матрицу

можно рассматривать как блочную матрицу

,

элементами которой служат следующие блоки:

, ,

, .

Основные операции с блочными матрицами совершаются по тем же правилам, по которым они совершаются с обычными числовыми матрицами, только в роли элементов выступают блоки.

В самом деле, элементарно проверяется, что если матрица является блочной и имеет блочные элементы , то при том же разбиении на блоки матрице отвечают блочные элементы . При этом блочные элементы сами вычисляются по правилу умножения матрицы на число λ.

Столь же элементарно проверяется, что если матрицы A и Bимеют одинаковые порядки и одинаковым образом разбиты на блоки, то сумме матриц A и Bотвечает блочная матрица с элементами =+(здесь и – блочные элементы матриц A и B).

Пусть A и B– две блочные матрицы такие, что число столбцов каждого блока равно числу строк блока (так что при любых α, β и γ определено произведение матриц ). Тогда произведение C = AB представляет собой матрицу с элементами , определяемыми формулой

.

Для доказательства этой формулы достаточно расписать левую и правую ее части в терминах обычных (числовых) элементов матриц A и B.

В качестве примера применения блочных матриц остановимся на понятии так называемой прямой суммы квадратных матриц.

1.2 Определители

Целью этого параграфа является построение теории определителей любого порядка п.

Рассмотрим произвольную квадратную матрицу любого порядка n :

. (1.8)

С каждой такой матрицей связана определенная численная характеристика, называемая определителем, соответствующим этой матрице.

Если порядок n матрицы (1.8) равен единице, то эта матрица состоит из одного элемента a ₁₁ и определителем первого порядка соответствующим такой матрице, называется величиной этого элемента.

Если далее порядок n матрицы (1.8) равен двум, т.е. если эта матрица имеет вид

, (1.9)

то определителем второго порядка, соответствующим такой матрице, есть число, равное a ₁₁ a ₂₂ – a ₁₂ a ₂₁ и обозначаемое одним из символов

.

Итак, по определению