Курсовая работа: Генерация матриц

, (1.26)

и остается вычислить множители и убедиться в справедливости для них формулы (1.25).

Для этого можно заметить, что минор получается в результате разложения по первой строке только одного из миноров n – 1‑го порядка, отвечающих первому столбцу, – минора . В разложении минора (при ) по первой строке записывается только то слагаемое, которое содержит минор (остальные слагаемые обозначаются многоточием). Учитывая, что элемент минора стоит на пересечении первой строки и (j ‑1) – го столбца этого минора, получается, что при

(1.27)

Вставляя (1.24) в правую часть (1.22), из которой исключено первое слагаемое, и собирая коэффициент при ,следует, что в сумме (1.26) определяется той же самой формулой (1.25), что и в равенстве (1.23). Теорема 1.2 доказана.

Выражение определителя непосредственно через его элементы . Установим формулу, выражающую определитель n ‑го порядка непосредственно через его элементы (минуя миноры).

Пусть каждое из чисел принимает одно из значений 1, 2, …, n ,причем среди этих чисел нет совпадающих (в таком случае говорят, что числа являются некоторой перестановкой чисел 1, 2, …, n ). Образуем из чисел все возможные пары и можно говорить, что пара образует беспорядок , если при i <j . Общее число беспорядков, образованных всеми парами, которые можно составить из чисел , обозначим символом .

С помощью метода индукции установим для определителя n ‑го порядка ( 1.11) следующую формулу:

(1.28)

(суммирование в этой формуле идет по всем возможным перестановкам чисел 1, 2, …, n ;число этих перестановок, очевидно, равно n !).

В случае n =2 формула (1.28) элементарно проверяется (в этом случае возможны только две перестановки 1, 2 и 2, 1, и, поскольку N (1,2)=0, N (2,1) = 1, формула (1.28) переходит в равенство (1.10)).

С целью проведения индукции предположим, что формула (1.28) при n >2 справедлива для определителя порядка (n ‑1).

Тогда, записав разложение определителя п-го порядка (1.11) по первому столбцу:

, (1.29)

можно, в силу предположения индукции, представить каждый минор (n ‑1) – го порядка в виде

(1.30)

(суммирование идет по всем возможным перестановкам (n – 1) чисел, в качестве которых берутся все натуральные числа от 1 до n ,за исключением числа ).

Так как из чисел , кроме пар, образованных из чисел ,можно образовать еще только следующие пары ,и поскольку среди чисел ,найдется ровно ( –1) чисел, меньших числа , то = + -1.

Отсюда вытекает, что и, вставляя (1.30) в (1.29), получается формула (1.28). Тем самым вывод формулы (1.28) завершен.

Теорема Лапласа .В этом пункте устанавливается формула, обобщающая формулу разложения определителя n ‑го порядка по какой-либо его строке.

С этой целью вводится в рассмотрение миноры матрицы n – го порядка (1.8) двух типов.

Пусть k – любой номер, меньший n , aи – произвольные номера, удовлетворяющие условиям ,.

Миноры первого типа являются определителями порядка k , соответствующими той матрице, которую образуют элементы матрицы (1.8), стоящие на пересечении k строк с номерами и k столбцов с номерами .

Миноры второго типа являются определителями порядка n –k , соответствующими той матрице, которая получается из матрицы (1.8) в результате вычеркивания k строк с номерами и k столбцов с номерами .

Миноры второго типа естественно назвать дополнительными по отношению к минорам первого типа.

Теорема 1.3 (теорема Лапласа). При любом номере k , меньшем n , и при любых фиксированных номерах строк таких, что , для определителя n ‑го порядка ( 1.11) справедлива формула

, (1.31)

называемая разложением этого определителя по k строкам . Суммирование в этой формуле идет по всем возможным значениям индексов , удовлетворяющим условиям .

Доказательство. Прежде всего формула (1.31) является обобщением уже доказанной формулы разложения определителя n ‑го порядка по одной его строке с номером i ₁ ,в которую она переходит при k = 1 (при этом минор совпадает с элементом , а минор – это введенный выше минор элемента ).