Курсовая работа: Геометричні місця точок на площині та їх застосування

І. Геометричним місцем точок, рівновіддалених від даної точки, є коло з центром у цій точці і з радіусом, який дорівнює даній відстані.

ІІ. Геометричним місцем точок, рівновіддалених від двох даних точок, є серединний перпендикуляр до відрізка, який з'єднує ці точки.

ІІІ. Геометричне місце точок, віддалених від даної прямої на відстань А, складається з двох прямих, паралельних даній і віддалених від неї на відстань h: Геометричним місцем точок, рівновіддалених від двох паралельних прямих, є пряма, паралельна даним прямим і однаково віддалена від них. Геометричне місце точок, рівновіддалених від двох прямих, що перетинаються, складається з двох прямих, які містять бісектриси кутів, отриманих в результаті перетину даних прямих.

Щоб знайти геометричне місце точок (фігуру), потрібно скласти за даною їх властивістю рівняння і назвати фігуру, яка визначається цим рівнянням.

Складаючи рівняння, спочатку позначаємо координати довільної точки шуканого геометричного місця трочок черех х, у. Потім, застосовуючи відомі рівняння (відстані між точками, середини відрізка, кола і прямої), складаємо нове рівняння, яке аналітично виражає зв’язок між координатами шуканої і даних точок. Цим самим обгрунтуємо пряме твердження: якщо М – довільна точка шуканого геометричного місця точок, то її координати задовольняють знайдене рівняння. Після цього доводимо обернене твердження: якщо координати довільної точки М задовольняють знайдене рівняння, то вона належить шуканому геометричному місцю точок.

Розглянемо приклади.

Задача 1. Дано коло радіуса R і точку А на ньому. Знайти геометричне місце точок, які ділять хорди, проведені через точку А кола, пополам.

Розв’язання. За початок координат візьмемо центр кола так, щоб точка А мала координати – R; 0 (мал. 134). Нехай АВ – довільна хорда, що проходить через точку А, а М – одна з точок шуканого геометричного місця точок, тобто така, що АМ = ВМ. Позначивши координати точок В і М відповідно через х₁ , у₁ і х, у, матимемо: Звідси

(1)

Точка В(х₁ ; у₁ ) лежить га колі, тому її координати задовольняють рівняння кола. Маємо: або, враховуючи рівності (1),

(2)

Звідси

(3)

Ми показали, що коли точка М – довільна точка шуканого геометричного місця точок, то її координати задовольняють рівняння (3).

Тепер потрібно довести, що довільна точка М (х; у), координати якої задовольняють рівняння (3), належить шуканому геометричному місцю точок. Розглянемо на координатній площині точку В з координатами х₁ =2х+R, у₁ =2у. З рівності (2) випливає, що точка В лежить на даному колі.

З другого боку, з рівності х₁ =2х+R, у₁ =2у дістанемо: Отже, точка М поділяє хорду АВ пополам.

Таким чином, рівняння є рівнянням шуканого геометричного місця точок. Цим рівнянням визначається коло радіуса з центром у точці (мал. 135).

Задача 2. Знайти геометричне місце точок, рівновіддалених від даної точки F і даної прямої d, яка не проходить через цю точку.

Розв’язання. Нехай відстань від даної точки F до даної прямої d дорівнює р. Візьмемо систему координат так, щоб вісь Ох проходила через точку F і була перпендикулярною до прямої d (мал. 136), а вісь Оу поділяла навпіл відрізок осі Ох між прямою d і точкою F.

Нехай М (х; у) – довільна точка шуканого геометричного місця точок. Опустимо з точки М на пряму d перпендикуляр МК. Координати точки К: ; координати точки F:

За умовою МК=MF. Запишемо цю рівність у координатах: Піднесемо до квадрата обидві частини цієї рівності і спростимо:

або

звідси

(1)

Ми показали, що координати х; у довільної точки М шуканого геометричного місця точок задовольняють рівняння (1). Справедливе й обернене твердження: точка, координати х, у якої задовольняють рівняння (1), належить шуканому геометричному місцю точок. Справедливі, рівність