Курсовая работа: Геометричні місця точок на площині та їх застосування

BK=BL.

Тому що то медіана прямокутного трикутника KLM, проведена на гіпотенузу, дорівнює її половині, тобто BM = BK = BL.

Таким чином, маємо що й треба було довести.

ХІХ. Геометричне місце точок, з яких два даних кола видно під одним і тим же кутом, є коло.

Доведемо теорему про дане місце точок.

Теорема 244. Будь-яка точка М, що має відносно двох даних кіл (рис. 208) К і К₁ таку властивість, що , де МЕ і MF джотичні, проведені з точки М до кола К, а MGі MH – до кола К₁ лежить на колі Аполлонія.

Нехай О і О₁ є центри кіл К і К₁ , а R і r – їх радіуси, проведені відповідно до точок F і G. Прямокутні трикутники OFM і O₁ GM подібні, бо мають по рівному гострому кутові α. Звідки маємо:

Отже, всі точки М шуканого геометричного місця лежать на колі Аполлонія, коли R≠r, і на прямій, якщо R=r.

Теорема 245. Якщо точка М лежить на колі з діаметром CD, причому точки C і D ділять лінію центрів ОО₁ даних кіл К і К₁ у відношенні R:r – радіусів цих кіл, то з точки М кола К і К₁ видно під одним і тим же кутом α.

Із точки М можна провести дотичні до кіл К і К₁ (рис. 208), якщо М зовнішня по відношенню до обох кіл. Провівши дотичну MF до кола К і дотичну MG до кола К₁ , знайдемо за властивістю кола Аполлонія, що в прямокутних трикутниках MOF і MGO₁

Якщо ж в двох прямокутних трикутниках гіпотенузи відносяться так, як два їх катети, то такі трикутники подібні. Отже, що й треба було довести.

Зауваження. Якщо дані кола К і К₁ перетинаються, то геометричне місце – коло – проходить через точки перетину; якщо кола К і К₁ внутрішньо дотикаються, то шукане геометричне місце буде точкою; якщо одне з кіл К і К₁ лежить всередині другого, то шукане геометричне місце точок не існує.

Х. геометрипчне місце точок таких, що сума квадратів їх віддалей від двох даних точок А і В дорівнює квадратові довжини даного відрізка, тобто а² (а – даний відрізок), є коло, що його центр є точка О – середина відрізка АВ, а радіус є відрізок де b дорівнює довжині відрізка АВ.

Доведемо теорему про дане місце точок.

Теорема 246. Будь-яка точка М, що має відносно двох даних точок А і В таку властивість, що МА² + МВ² = а² , де а – даний відрізок, лежить на колі з центром в точці О – середині відрізка АВ = b і радіусом

Нехай довільна точка М задовольняє рівність МА² +МВ² =а² (рис. 209).

Побудуємо паралелограм MANB; маємо:

AB² +MN² =2MA² +2MB² .

Але за умовою: АВ=b, МА² +МВ² =а² і діагональ MN=2OM, отже, з вищенаписаної рівності маємо:

4OM² =2a² -b² ,

звідки

Таким чином, доведено, що будь-яка точка М, що задовольняє умову теореми, лежить на колі, описаному з центра О радіусом

Зауваження 1. Коли дано відрізок АВ=b і відрізок, рівний а, то для того, щоб визначити точку М, що має властивість МА² +МВ² =а² , будуємо на гіпотенузі а будь-який прямокутний трикутник. Точка М перетину дуг, описаних з центрів А і В радіусами, відповідно рівними катетами побудованого прямокутного трикутника, якраз відповідає нашій умові.

Зауваження 2. а) Якщо b>a, то 2а² – b² >a² , тобто r=OM>Отже, коло, описане з центра О радіусом ОМ, охоплює відрізок АВ.