Курсовая работа: Геометричні місця точок на площині та їх застосування

V. Геометричне місце точок, що ділять в даному відношенні відрізки

C₁ D₁ , C₂ D₂ , C₃ D₃ і т.д. паралельних прямих, які перетинають сторони даного кута АОВ (рис. 203), є пряма, що сполучає вершину О кута з точкою, наприклад Е₃ , яка ділить один з даних відрізків C₃ D₃ в даному відношенні.

Зауваження. Якщо відношення, в якому поділені відрізки, дорівнює одиниці, то геометричним місцем точок є продовжена медіана трикутника, який одержуємо від перетину даного кута однією із згаданих паралельних прямих, проведених з вершини О.

VI. Геометричне місце точок, що їх віддалі від двох прямих АВ і CD відносяться, як m: n, є сукупність двох прямих LK і MN (рис. 204), що проходять через точку Е перетину прямих АВ і CD і через точки К і L, M і N перетину прямих, паралельних АВ і віддалених від неї на ь, з прямими, паралельними CD і віддаленими від неї на n.

VII. Геометричне місце точок, з яких відрізок АВ видно під даним кутом α, є дуга кола , стягувана хордою АВ, з центром О або О₁ (рис. 205).

Дуги АМВ і ANB, а також ентри О і О₁ симетричні відносно відрізка АВ.

Щоб побудувати центри О і О₁ , в цінцях відрізка АВ, з обох боків від нього, проводимо прямі під кутом α до прямої АВ і будуємо з точок А і В перпендикуляри до проведених прямих. На перетині цих перпендикулярів з перпендикуляром до відрізка АВ через його середину і лежать центри О і О₁ .

Зауваження. Точки А і В треба виключити, бо вони не мають властивості, яку мають всі інші точки .

VIII. Геометричне місце точок, що їх віддалі від двох даних точок А і В відносяться, як m: n, є коло, побудоване на відрізку CD, як на діаметрі, притому точки C і D на прямій АВ ділять відрізок АВ відповідно у внутрішньому і зовнішньому відношенні, рівному m: n. Інакше кажучи, точки А, С, В і D – гармонічно спряжені точки.

Доведемо теорему відносно поданого геометричного місця, або так званого кола Аполлонія.

Теорема 242. Довільна точка М така, що відношення її віддалей від двох даних точок А і В дорівн.є m: n, лежить на колі з діаметром CD, причому точки С і D ділять відрізок АВ відповідно зсередина і зовні у відношенні m: n.

Дані точки А і В і така точка М (поза прямою АВ), що МА: МВ =m: n (рис. 206).

Будуємо на прямій АВ такі дві точки С і D, що:

СА: СВ = DA: DB = m: n.

Сполучаємо точку М з точкою А, С, В і D. Через те що

, то

Тобто МС і MD – бісектриси відповідно внутрішнього і зовнішнього кутів трикутника АВМ, або кут CMD =

Отже, де не лежала б точка М, при умовы нашоъ теореми, завжди буде так, що Отже, точка М лежить на колі з діаметром CD.

Теорема 243. Довільна точка М кола з діаметром CD при умові, що точки C і D ділять відрізок АВ (точки А і В дані) відповідно зсередини і зовні у відношенні m: n, має ту властивість, що МА: МВ = m: n. Дані точки А, С, В і D так, що СА: СВ = m: n, і коло з діаметром CD (рис. 207).

Треба довести, що для довільної точки М кола існує відношення МА: МВ = m: n.

Через точку В проводимо пряму KL || MA.

З подібності трикутників АСМ, ВСК і ADM, BDL маємо:

тобто