Курсовая работа: Геометричні місця точок на площині та їх застосування

Звідси, беручи до уваги, що х > 0 і ; маємо

З останньої рівності випливає, що точка М (х; у) рівновіддалена від прямої d і від точки F, тобто М належить шуканому геометричному місцю точок.

Знайдене рівняння у² =2 рх визначає лінію, яка називається параболою (мал. 137). Точка F називається фокусом параболи, а пряма d – директрисою.

Параболу можна побудувати так. Проведемо директрису параболи d і позначимо фокус F(мал. 138). Середина О відрізка DF належить параболі і є її вершиною. Через довільну точку К променя OF проведемо пряму, перпендикулярну до осі параболи. Знайдемо дві точки М і М₁ перетину цієї прямої з колом, центром якого є фокус F, а радіус дорівнює відстані від цієї прямої до директорії d. Точки М і М₁ належать параболі. Якщо проведемо кілька прямих, перпендикулярних до осі параболи, і побудуємо точки перетину їх з колами, центрами яких є фокус F, а радіуси дорівнюють відстаням від директриси до відповідної прямої, то дістанемо пари точок параболи. Знайдемо точки сполучимо плавною лінією за допомогою лекала.

Задача 3. Знайти геометричне місце точок, сума відстаней яких до двох даних точок є величина стала.

Розв’язання. Нехай відстань між даними точками F₁ iF₂ дорівнює 2 с. Візьмемо за початок координат середину О відрізка F₁ F₂ (мал. 139), а промінь OF₂ – за додатну піввісь Ох. Тоді точка F₁ матиме координати – с; 0, а точка F₂ – координати с; 0.

Нехай М (х; у) – довільна точка шуканого геометричного місця точок. За умовою сума F₁ M+F₂ M стала. Позначимо її через 2а. Запишемо цю рівність у координатах. За формулою відстані між двома точками дістанемо:

або

Піднесемо до квадрата обидві частини цієї рівності і спростимо:

Тепер знову піднесемо обидві частини рівності до квадрата. Дістанемо:

або після спрощення:

Оскільки F₁ M+F₂ M>F₁ F₂ , тобто 2а>2с, то а² – с² >0. Позначимо а² -с² =b² . Тоді останню рівність запишемо так: b² x² +a² y² =a² b² . Поділивши обидві частини рівності на a² b² , дістанемо:

(1)

Ми показали, що координати х; у довільної точки М шуканого геометричного місця точок задовольняють рівняння (1). Справедливе і обернене твердження: якщо координати довільної точки М задовольняють рівняння (1), то вона належить шуканому геометричному місцю точок. Таким чином, рівняння (1) є рівнянням шуканого геометричного місця точок.

Рівнянням визначається опукла замкнена лінія, яка називається еліпсом. Точки F₁ і F₂ називаються фокусами еліпса. Форму еліпса має лінія похилого розрізу циліндричних і конічних тіл: дерева, ковбаса, морквини тощо.

Еліпс можна побудувати так. Візьмемо нитку певної довжини (наприклад, 20 см) і закріпимо її кінці в точка F₁ та F₂ (мал. 140). (Довжина нитки має бути більшою за довжину відрізка F₁ F₂ ). Натягуємо нитку вістрям олівця і переміщаємо на площині. Вістря олівця опише еліпс. Для кожної точки еліпса сума її відстаней від двох нерухомих точок F₁ і F₂ є стала величина (у нашому прикладі ця сума дорівнює довжині нитки). Якщо довжину нитки залишити ту саму, а відстань між фокусами змінити і знову побудувати еліпс, то його форм а зміниться (еліпс витягнеться або округлиться).

Розглянутий спосіб побудови еліпса використовує садівник, щоб надати клумбі еліптичну форму, маляр, який будує еліптичний контур для розпису стелі, стоялр, виготовляючи дерев’яні деталі еліптичної форми.

3. Задачі на відшукання ГМТ

І. Геометричне місце точок, які перебувають на рівних віддалях від трьох даних точок А, В, С, що не лежать на одній прямій, є точка – центр кола, яке проходить через ці точки.

ІІ. Геометричне місце крайніх точок рівних відрізків, дотичних до даного кола, є коло, концентричне з даним.

ІІІ. Геометричне місце точок, які мають ту властивість, що кут між кожною парою дотичних, роведених з них до даного кола, має дану величину, є коло, концетричне з даним.